Probléme Suite numérique

[celtic]

Bonjour à tous

Deux sociétés spécialisées dans le commerce de voitures, les sociétés « Bonne Route » et« Voyage », se partagent un marché stable de 20 millions de clients.
Au 1er janvier 2018, la société « Bonne Route » compte 16 millions de clients et la société « Voyage » compte 4 millions de clients.
Les prévisions du marché laissent apparaître que, chaque année, la société « Bonne Route » perdra 20 % de ses clients au profit de la société « Voyage » et que la société « Voyage » perdra elle aussi 20 % de ses clients au profit de la société « Bonne Route ».
Soit $ U $
$n$ le nombre de client (en millions) de la société « Voyage » au 1er janvier de l’année $2019+n$. On déduit de l’énoncé que $U_0 = 4$
a) Montrer que $U_1 = 6,4$.
b ) Montrer que pour tout entier $n$ $U_{n+1}= 0,6U_n + 4$

comment j'aborde le problème ?

On est sur une suite arithmétique de la forme $U_{n+1}=U_n +nr$

Est ce correct pour le moment
La raison est :
$r=\left(16-20\%\right)+\left (4+20\%\right)=4$

Merci d'avance

Celtic

[celtic]

Bonjour à tous

Voici mon début

reponse a)

La suite arithmétique est de la forme
$U_{n+1}=U_n +r$
$U_0=4$
$U_1=(0.2\times 16-0.2\times 4)+ 4=6.4$

Pour la b je ne vois pas trop

Merci d'avance
Celtic

[kojak]

Bonjour Celtic,

Ah,ça faisait longtemps qu'on ne t'avait pas vu ici

Ici, tu n'as pas une suite arithmétique.

Il faut introduire 2 suites : la suite $U_n$ comme tu le fais, mais également la suite $V_n$ qui correspond à l'autre société, car les 2 suites dépendent l'une de l'autre.

Donc ici il faut déjà arriver à exprimer $U_{n+1}$ et $V_{n+1}$ en fonction de $U_n$ et $V_n$.

Ensuite, qd tu pers 20% de qque chose, cela revient à multiplier par $1-0.2=0.8$ : OK ?

Tu as donc avec l'énoncé ceci : $U_{n+1}=0.8 U_n + 0.2 V_n$ et $V_{n+1}=0.2U_n+0.8 V_n$ : OK ?

Tu remarques alors que : relation 1 : $U_{n+1}+V_{n+1}=U_n+V_n$ donc cette suite est constante et donc égale à $U_0+V_0=20$ d'où l'on tire relation 3 : $V_n=20-U_n$.

Tu as également : relation 2 : $U_{n+1}-V_{n+1}=0.6(U_n-V_n)$ d'où en ajoutant la relation 1 et la relation 2, tu obtiens $2U_{n+1}=0.6(U_n-V_n)+20$ et avec la relation 3 en remplaçant $V_n$ par son expression en fonction de $U_n$, tu vas obtenir la réponse voulue.

Voili, voilà.

A bientôt

[celtic]

Salut Kojak

Et oui de retour , comme quoi on peut etre accroc et aimer les maths, pour moi ça me donne du peps de resoudre et d"etre aider ici

Merci encore

Pour le probléme cité j'ai compris

$U_{n+1}=0.8 U_n + 0.2 V_n$
$V_{n+1}=0.2U_n+0.8 V_n$
Si on ajoute
$U_{n+1}$ et $V_{n+1}$
on a :
$U_{n+1}+V_{n+1}=U_n+V_n$ qui est une constante égale à 20

Donc si
$U_n+V_n = 20$
Alors
$U_n= 20-V_n$

Si on soustrait

$U_{n+1}$ et $V_{n+1}$
on a :
$U_{n+1}-V_{n+1}=0,6(U_n-V_n)$

la difficulté de ce probleme est d'écrire $U_{n+1}$ et $V_{n+1}$
et ensuite de les ajouter et les soustraire et là c'est pas évident sur le moment

[kojak]

Bonjour,

c'est pas évident sur le moment

Oui, car là tu n'as aucune indication sur la façon de procéder, donc faut se triturer un peu les méninges

Une remarque : comme tu as ici $U_{n+1}-V_{n+1}=0.6(U_n-V_n)$ cela signifie que la suite $U_n - V_n$ est géométrique de raison $q=0.6$ de premier terme $U_0-V_0=-12$ si je n'ai pas inversé les 2 sociétés.

Et comme la somme $U_n+V_n$ est constante, tu peux en déduire directement l'expression générale de $U_n$ en fonction de $n$.