oui, j'ai l'impression que c'est plus clair.
On sait que $G$ est un groupe cyclique d'ordre $n$.Il existe donc un élément $g$ qui l'engendre, ce qui permet d'écrire $G=<g>$.
On utilise ensuite le morphisme surjectif, qui est par définition :
$\begin{array}{lccl}
\pi : &G &\rightarrow& G/J \\
&g^k& \mapsto &\bar{g}^k=g^kJ
\end{array}$
On peut affirmer que $\pi(G)=<\pi(g)>$, soit $G/J=<aJ>$.\pi : &G &\rightarrow& G/J \\
&g^k& \mapsto &\bar{g}^k=g^kJ
\end{array}$
En passant au cardinal et en utilisant le th.de Lagrange, on obtient que $card(G)/card(J)=o(aJ)$ ce qui donne $\frac{n}{d}=o(aJ)$.
Par définition, l'ordre de l'élément $aJ$ du groupe $G/J$ est le plus petit entier $k$ tel que $(aJ)^k=\bar{e}$, où $\bar{e}$ désigne le neutre du groupe $G/J$. C'est ce point qui me bloque : justifier que ce neutre est J.
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Je sais que $G/J$ signifie $G/\mathcal{R}_J$ où l'on note la relation d'équivalence $x\mathcal{R}_J y$ ssi. $x^{-1}y\in J$.
Ensuite, on note $\bar{x}=\{y\in J\mid x\mathcal{R}_J y\}=xJ$.
Puis, on écrit $G/J=\{\bar{x}\mid x\in G\}=\{xJ\mid x\in G\}$.
Je cherche le neutre de ce groupe, soit un élément $\bar{e}$ tel que pour tout $\bar{x}\in G/J$, on ait $\bar{x}\bar{e}=\bar{x}$.
Ce qui signifie $xJ \bar{e} = xJ$.
En prenant $\bar{e}=J$, on obtient l'égalité $xJ J = xJ$.
Je ne suis pas certain de ce que j'écris et j'ai l'impression que tout cela n'est pas rigoureux. Pouvez-vous m'aider ?
Encore merci de l'aide !
