dans un exercice, on me demande de justifier que l'entier $N=a^n-1$ avec $a,n\ge 2$ est tel que $n\mid\phi(N)$.
J'ai compris l'idée principale qui est de travailler dans $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$.
En effet, dans cet anneau, on a les équivalences suivantes :
$N=a^n-1\iff \overline{N}=\overline{a^n-1} \iff \overline{0}=\overline{a}^n-\overline{1} \iff \overline{a}^n=\overline{1}$.
On me demande de justifier qu'alors $\overline{a}\in(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ et je ne vois pas pourquoi. Et là, je fais un blocage.
Dans la leçon, j'ai vu que $pgcd(a,N)=1\iff\overline{a}\in(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$. Est-ce le résultat qu'il faut utiliser ?
Ou, plus simplement, écrire que $\overline{a}^n=\overline{1}\iff \overline{a}^{n-1}\times\overline{a}=\overline{1}$.
Ainsi, pour l'élément $\overline{a}$, il existe un élément $\overline{b}=\overline{a}^{n-1}\neq\overline{0}$, tel que $\overline{a}\times\overline{b}=\overline{1}$. Et je retrouve la définition d'être inversible.
Mais avec des hésitations puisque l'élément $\overline{b}$ "est fonction" de l'élément $\overline{a}$.
Qu'en pensez-vous ?
PS : j'arrive à bien conclure l'exercice sinon avec le théorème de Lagrange.
