Equation dans Z

[ounis]

Trouver tous les entiers relatifs $x$ tels que $x^4+x^3+x^2+x+1$ soit un carré parfait.

[Rémi]

Quelles sont tes réflexions à ce sujet ?

[MB]

Il s'agit d'un exercice ou d'une question ouverte ?

[gigiair]

Mon intuition masculine me dit qu'à part les solutions évidentes $x=0$, $x=-1$ et (moins évidente) 3 il n'y aurait pas de solution. Prouver une impossibilité, ce n'est que rarement un exercice élémentaire...

[evariste_G]

L'équation est équivalente à : $$x^5 - 1 = (x - 1)p^2$$ avec $p$ entier, soit : $$ x^5 - p^2x + p^2-1 = 0,$$ équation quintique irréductible de la forme de Bring-Jerrard, résoluble si et seulement si $p^2=0$ (donc $p=0$) ou si $$p^2-1=\frac{4}{5}(-p^2+20\pm2\sqrt{(20+p^2)(5-p^2)})$$ avec $p^2=-\frac{5(4v+3)}{v^2+1}$, $v$ étant un rationnel (source : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_quintique). Peut-être est-ce une piste ?

[ounis]

On pose $A=x^4+x^3+x^2+x+1$. Si $A$ est un carré parfait alors $4A$ l'est aussi.

On a : $(2x^2+x+1)^2-4A=(x+1)(x-3)$ et $(2x^2+x+1)^2-4A>0$ si $x<-1$ ou $x>3$ donc $(2x^2+x)^2<4A<(2x^2+x+1)^2$, pour tout $x>3$ ou $x<-1$, $4A$ est encadré par deux carrés consécutifs et par suite pour tout $x>3$ ou $x<-1$, $4A$ ne peut pas être un carré parfait, donc $A$ aussi.

Conclusion. Seulement pour $x=-1$ ou $x=0$ ou $x=3$, $A$ est un carré parfait.

[gigiair]

Astucieux. Ce qui m'interpelle toujours dans de tels problèmes c'est de savoir comment on peut en avoir l'idée.