Plan de R^3 et isobarycentre

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Kazik
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Plan de R^3 et isobarycentre

Message par Kazik »

Bonsoir,

je bute sur un exo qui paraît simple (niveau TS ?) :
on me donne $A(1,0,0)$, $B(3,2,4)$ et $C(1,1,3)$.
Il faut que je détermine le plan qui contient ces trois points ... :oops:
Enfin on demande l'isobarycentre de ces trois points!

(c'est loin tout ceci pour moi!)

Arnaud
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Message par Arnaud »

Un point et deux vecteurs directeurs donnent directement un système d'équations paramétriques.

Ce système mène à une équation cartésienne en bossant un peu.

@guiguiche : Au programme des 1ères L et des premières S chez nous.... :wink:
Arnaud
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Kazik
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Message par Kazik »

Ok,

donc je prend $\vec{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$ et $\vec{AC}\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ (non colinéaires) puis le point $A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

On a donc :
$s\vec{AB}+t\vec{AC}+A=s\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s+1\\2s+t\\4s+3t\end{pmatrix}$

ou est le plan :?

Arnaud
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Message par Arnaud »

Je dirais plutôt :

$$\vec{x}=s\vec{AB}+t\vec{AC}+A=s\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s+1\\2s+t\\4s+3t\end{pmatrix} $$
Et donc tu l'as "écrit le plan" :



$$ \left\{ \begin{array}{l}
x = 2s + 1 \\
y = 2s + t \\
z = 4s + 3t
\end{array} \right.} $$

avec $s,t \in \R$

Kazik
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Message par Kazik »

On ne peut pas l'écrire "comme d'habitude" $ax+by+cz+d=0$ ?

Arnaud
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Message par Arnaud »

Ca s'appelle une équation cartésienne : manipule le système paramétrique pour exprimer $x$, $y$ et $z$ les uns en fonction des autres ( sans $s$ et $t$ ).

Kazik
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Message par Kazik »

Je trouve donc $x-3y+z-1=0$ ?

l'isobarycentre ? :?

Arnaud
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Message par Arnaud »

Tu as vérifié que l'équation était bonne ?

L'isobarycentre de 3 points connaissant leurs coordonnées, c'est très simple, et très naturel aussi.
Je te laisse chercher un peu ( wikipedia :wink: ).
Arnaud
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guiguiche
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Message par guiguiche »

Et avec le produit vectoriel $\vect{AB}\wedge\vect{AC}$ ? Tu obtiens un vecteur normal dont les coordonnées $(a,b,c)$ sont les coefficients que tu cherches. Pour $d$, le plan passe par $A$.

@Arnaud : connais pas le prog de 1L et plus bien celui de 1S. Par contre, je vois bien ce que savent faire (ou pas faire) les élèves en arrivant avec leur bac S en poche.

[edit : @MB/nirosis, et oui, quand on édite, il n'y a plus de signature.]

Arnaud
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Message par Arnaud »

Ha oui, j'ai même pas pensé qu'il connaissait le produit vectoriel !
L'habitude....
Arnaud
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Kazik
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Message par Kazik »

Je crois que l'équation est bonne car les coordonnées des points vérifient cette équation.
Ensuite pour l'isobarycentre c'est la barycentre de $(A,1),(B,1),(C,1)$ ?

Je ne connais pas le produit vectoriel !!

Arnaud
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Message par Arnaud »

Ha, donc j'ai bien fait, mais cela m'étonne que tu ne connaisses pas...

En effet l'équation est juste, mais il faut toujours avoir le réflexe de vérifier ce genre de choses.
Arnaud
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guiguiche
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Message par guiguiche »

Kazik a écrit :Je ne connais pas le produit vectoriel !!
Non ? On ne voit plus ça à la fac ? (déjà qu'on le fait plus en TS depuis pas longtemps)
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Message par Kazik »

Beh je vais peut-être le faire, mais je ne l'est pas encore vu!
Pour mon isobarycentre :D
En faite je m'aperçois que j'ai oublier la définition d'un barycentre !

Arnaud
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Message par Arnaud »

Eurf... :? :D

Raison de plus pour chercher sur wikipedia.
Arnaud
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Kazik
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Message par Kazik »

lol

donc $G$ barycentre de $(A,a),(B,b),(C,c)$ signifie que :

$a\vect{GA}+b\vect{GB}+c\vect{GC}=\vect{0}$ avec $a+b+c\neq0$


(je me souviens qu'il y avait une autre équation avec la somme des coefficients en dénominateur, mais je n'arrive plus à trouver laquelle !)

donc ici $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec{0}$
soit

$$\begin{pmatrix}x_A-x_G\\y_A-y_G\\z_A-z_G\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_B-x_G\\y_B-y_G\\z_B-z_G\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_C-x_G\\y_C-y_G\\z_C-z_G\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

d'où :

$x_A+x_B+x_C-3x_G=0 \Rightarrow 3x_G=x_A+x_B+x_C=5 \Rightarrow x_G=\frac{5}{3}$
$y_A+y_B+y_C-3y_G=0 \Rightarrow 3y_G=y_A+y_B+y_C=3 \Rightarrow y_G=1$
$z_A+z_B+z_C-3z_G=0 \Rightarrow 3z_G=z_A+z_B+z_C=7 \Rightarrow z_G=\frac{7}{3}$

et donc :

$$G\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\1\\\frac{7}{3}\end{pmatrix}$$

c'est cela ?

Kazik
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Message par Kazik »

ceci doit etre faux ...

guiguiche
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Message par guiguiche »

Kazik a écrit :ceci doit etre faux ...
J'en sais rien, j'ai pas refait tes calculs. Mais la méthode est correcte;
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Message par Kazik »

Mais quand on dit déterminer l'isobarycentre, ceci signifie que l'on doit déterminer les coordonées d'un point ?

guiguiche
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Message par guiguiche »

Kazik a écrit :Mais quand on dit déterminer l'isobarycentre, ceci signifie que l'on doit déterminer les coordonées d'un point ?
Cela dépend du contexte.
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