Prouver que u(n)>0

[Floflo23]

Bonjour,
Je dois rendre un devoir pour vendredi mais je bloque sur une question.

Soit $u$ la suite définie par son 1er terme $u_0=1$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+1}$.

Afin de démontrer cette affirmation, vraie, indiquer si un raisonnement par récurrence serait superflu ou impératif:
Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe et $u_n>0$.

Je vous remercie du fond du coeur par avance car je suis vraiment bloquée...

[MB]

Bonjour, je te propose de commencer par montrer la propriété via une récurrence, qui ne me semble pas trop difficile.

• Montrer que la propriété est vraie au rang 0. (initialisation)
• Montrer que si la propriété est vraie au rang $n$, alors elle est vraie au rang $n+1$. (hérédité)

[Floflo23]

Bonsoir, merci.
Je voulais faire cela, mais je n'étais pas sûre de devoir faire un raisonnement par récurrence.
Pour répondre à la question, je dois dire pourquoi il est nécessaire de raisonner par récurrence, et c'est cela que je ne sais pas à présent que vous m'avez dit qu'il était nécessaire de le faire.
Merci de votre aide.

[MB]

Pour éviter d'avoir à raisonner par récurrence, je suppose qu'il faudrait obtenir une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
Cette relation doit être $u_n=\frac{1}{n+1}$, mais encore faudrait-il le prouver ... par récurrence.

D'après moi, la récurrence n'a donc rien de superflu.

PS. Il s'agit d'un exercice de quel niveau ? (c'est toujours bien de l'indiquer dans le sujet du premier message)

[Floflo23]

Bonsoir,
Je vous remercie, je suis à présent 100% sûre grâce à vous que je dois raisonner par récurrence.
Cet exercice est du niveau de Terminale Générale du nouveau BAC.
Excusez-moi pour l'oubli que j'avais fait en ne le précisant pas...
Encore merci de votre aide.
Bonne soirée à vous,
Floflo23.

[evariste_G]

Il n'y a que moi que l'énoncé dérange ?
Comment prouver que le raisonnement par récurrence est impératif ici ? Autrement dit, comment prouver qu'un autre raisonnement n'existe pas ?

On sent bien en effet que c'est le cas, mais c'est l'expérience qui me fait dire ça... et non une réelle démonstration du fait de l'impossibilité de démontrer ce résultat autrement que par récurrence. En plus, je ne suis même pas sûr (vu que ce n'est pas prouvé) que l'on ne peut pas le démontrer autrement.

Bref, cette question me dérange...

[MB]

J'avoue que ça m'a également laissé un peu perplexe.

[projetmbc]

Supposons l'existence de $n$ tel que $u(n) \leq 0$.
On note alors $n_0$ le plus petit de ces entiers. Comme $u(0) > 0$, on sait que $n_0 = k + 1$ avec $k \in \mathbb{N}$.
Dès lors, nous avons la contradiction $u(k+1) = \frac{u(k)}{u(k) + 1}$ où $u(k+1) \leq 0$ et $u(k) > 0$.

[MB]

Bien vu. A priori il n'y a pas de récurrence, mais ça utilise la propriété du bon ordre sur $\N$.
Je ne sais pas si cette propriété figure explicitement au programme de terminale, mais il me semble qu'elle est équivalente au principe de récurrence.

[projetmbc]

Oui il y a bien équivalence et l'astuce est en théorie applicable à chaque fois. Pour la pratique, il faudrait voir ce que cela donne.

La propriété de bon ordre est juste au programme de la spécialité math. experte via l'arithmétique.

[MB]

En spécialité ou en option mathématiques expertes ? (car il me semble que l'arithmétique est surtout traitée en mathématiques expertes)

[projetmbc]

Mon clavier a fourché. Oui c'est en option maths expertes.