Bonsoir,
En utilisant le théorème sur le signe d'un trinôme du second degré, voici comment j'obtiens facilement une majoration sur $]-1,1[$, mais pas tout à fait celle demandée. Voici :
On remarque d'abord que la fonction admet un extremum en $-1/2a$, lequel est un minimum si $a>0$, un maximum dans le cas contraire, et cet extremum vaut $\:-\frac1{4a}-a=-\frac{4a^2+1}{a}$.
Comme $f_a(1)=1,\: f_a(-1)=-1$, on en déduit aussitôt que $-1$ sépare les racines (qui sont nécessairement réelles) si $a>0$, mais pas $1$, et inversement si $a<0$. Notons $\xi$ la plus grande des racines, nécessairement située entre $-1$ et $1$.
Deux cas de figure :
- Ou bien l'extremum a lieu avant $-1$ ou après $1$, auquel cas la fonction est monotone sur $]-1,1[$, de sorte que $-1<f_a(x)<1$.
- Ou bien il a lieu entre $-1$ et $1$. Ceci se produit si $\frac 1{2|a|}<1$, c.-à-d. si $|a|>1/2$ La valeur absolue de l'extremum est $\frac 1{4|a|} +|a|<\frac12+1=\frac 32 $, et l'on vérifie aisément que cette majoration est valide sur tout l'intervalle de bornes $\xi$ et la valeur qui sépare les racines ($1$ ou $-1$ selon le signe de $a$).
Bilan: sur le reste de l'intervalle $]1,1[$ on a une majoration par $1$ en raison de la monotonie de $f_a$, on obtient donc au total une majoration par $3/2$, et cette valeur est atteinte.
B. A.
