Suites

[jtsfab]

Bonjour, impossible de trouver la solution à cela, pouvez vous m'aider ?

$$P(x)=0,5x^2-0,5x+c$$
Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a: $P(n+1)-P(1) = 1+2+3+ \cdots +n$.

Merci d'avance

[MB]

Bonjour.

• Calculer $P(n+1)-P(1)$ à partir de l'expression de $P(x)$.
• Je suppose que tu dois connaître une formule permettant de calculer rapidement la somme $1+2+3+\cdots+n$.

Il suffira ensuite de vérifier que ces deux expressions sont égales.

[jtsfab]

Merci, j'ai remplacé $n+1$ par $x$ puis $1$ par $x$. Cela me donne $\frac{n(n+1)}{2}$.
Mais après je suis bloqué.

Dans l'exo d'avant j'avais $P(x+1)-P(x)=x$.

[MB]

Merci, j'ai remplacé $n+1$ par $x$ puis $1$ par $x$. Cela me donne $\frac{n(n+1)}{2}$.

Je suppose que tu voulais dire que tu as remplacé $x$ par $n+1$, puis par $1$.
En tout cas, le résultat est correct, et tu l'as même factorisé ! Tu ne reconnais pas la formule obtenue ?

[jtsfab]

Ben $1+2+3+ \cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Mais c'est tout, pas besoin de plus ? Le fait de dire cela suffit !?

[MB]

Ben $1+2+3+ \cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Oui, il s'agit bien de cette formule.

Donc si tu as calculé $P(n+1)-P(1)$ et que tu as trouvé $\frac{n(n+1)}{2}$, alors tu peux conclure que $P(n+1)-P(1)=1+2+3+ \cdots +n$.

[balf]

Plutôt que de faire les calculs bestialement, il est plus simple et plus direct d'utiliser l'exercice précédent :
comme $P(x+1)-P(x)=x$, on en déduit par télescopage que
$$\begin{align}
P(n+1)-P(1)&=P(n+1)-P(n)+P(n)-P(n-1)+\dots+P(3)-P(2)+P(2)-P(1) \\
&=n+(n-1)+\dots+2+1.
\end{align}$$

[guiguiche]

Je pense qu'au lycée on attend davantage une récurrence, non ?

[MB]

Dans l'exo d'avant j'avais $P(x+1)-P(x)=x$.

Il aurait effectivement pu être intéressant d'indiquer plus tôt la présence de cette question préliminaire, car du coup l'objectif de l'exercice était peut-être d'établir la formule de sommation des entiers de 1 à n. Si tel est le cas, il ne faut donc pas l'utiliser ...