[MPSI] Forme indéterminée d'une limite

[Lena]

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien !

Je suis désolée de vous déranger, mais je suis complètement bloquée depuis plusieurs jours sur un calcul de limite, je me demandais si quelqu'un voudrait bien m'éclairer. Bien sûr ne répondez pas si vous n'avez pas le temps, d'autant plus que les fêtes approchent.

On me demande de calculer la limite de $x (e-(1+(1/x))^x)$ quand x tend vers + l'infini. Je n'arrive pas à lever l'indétermination....

Je suis bien sure passée en forme exponentielle, et j'ai transformé au maximum mon expression avec les règles de calcul du ln et de l’exponentielle, mais quoi que je fasse j'arrive à une forme du type $0 \times \infty$. Quand je trace la courbe à la calculatrice, on voit bien que la limite est e/2 mais je ne vois pas du tout comment y arriver.

Je suis en MPSI et on n'a pas encore vu les développements limités, on a par contre introduit les équivalents.

Est ce que quelqu'un aurait une petite idée s'il vous plaît ?

Merci de votre attention,

Bonne journée et belles fêtes de fin d'année à vous,

Respectueusement,

Lena

[kojak]

Bonjour Lena,

Sans les développements limités, ça va pas être simple... à moins que tu aies vu un équivalent en 0 de $x-\ln(1+x)$, ou la formule de Taylor Young.

[Lena]

Non nous n'avons pas encore vu ça....

Mais merci beaucoup pour cette indication je vais donc aller me renseigner sur cette formule et creuser dans cette voie! Merci beaucoup.

Passez de belles fêtes de fin d'année !

[guiguiche]

Il faut jongler entre équivalents (constants) et passages à la limite. C'est tordu mais ça doit passer.

[Lena]

D'accord merci beaucoup !!

[guiguiche]

Tu as réussi ?

[Lena]

Avec les équivalents non, je n'arrive pas à me débarrasser de la forme indéterminée mais je vais continuer à chercher ! Par contre je me suis renseignée sur la formule de taylor et les développements limités et là ça a fonctionné assez rapidement !
Merci

[balf]

Bonjour,

Mais si, ça marche avec les équivalents, si l'on cherche la limite du logarithme de l'expression :
$$\ln\Bigl[\Bigl(1+\frac 1x\Bigr)^x\Bigr]=x\ln\Bigl(1+\frac 1x\Bigr)\sim_{\infty}x\,\frac1x=1,$$
et la limite de l'expression initiale vient avec la continuité de l'exponentielle.
Mais on n'a pas vraiment besoin d'analyse asymptotique : il suffit de poser $u=\dfrac 1x$, et aussitôt :
$$x\ln\Bigl(1+\frac 1x\Bigr)=\frac{\ln(1+u)}u,$$
qui a une limite quand $u\to 0$, bien connue dès la terminale (je n'irai pas jusqu'à insinuer dès le jardin d'enfants…).

B. A.

[Lena]

Oh je n'avais pas vu ça comme ça, c'est trop bien les maths !! Merci beaucoup j'ai compris Merci !!!!

[kojak]

Bonjour,

Mais si, ça marche avec les équivalents,

Pourrais tu expliquer plus en détail, stp, je ne vois pas comment tu peux t'en sortir autrement que par les développements limités, ou alors, comme dit Guiguiche, c'est réellement tordu.

si l'on cherche la limite du logarithme de l'expression :
$$\ln\Bigl[\Bigl(1+\frac 1x\Bigr)^x\Bigr]=x\ln\Bigl(1+\frac 1x\Bigr)\sim_{\infty}x\,\frac1x=1,$$
et la limite de l'expression initiale vient avec la continuité de l'exponentielle.

OK ça aucun souci, encore qu'il suffit de l'écrire en exponentielle $a^b = \textrm{e}^{b \ln a}$, ce qui renvient au même, mais après ça pose problème non ? car ça donne une forme indéterminée du type $\infty\times 0$.
Et additionner les équivalents, je ne suis pas très fan, sauf qd on sait réellement ce qu'on fait, ce qui n'est pas le cas de la grande majorité des étudiants.

[Lena]

En posant u=1/x à la fin j'arrive à une expression 0*0, je pense que je vais garder les développements limités maintenant que j'ai compris....

Mais merci quand même !

[kojak]

je pense que je vais garder les développements limités maintenant que j'ai compris....

Si vous ne les avez pas vu en cours, ça fait louche.
Tu as peut être démontré en TD plus tôt dans l'année que pour $x\geq 0$, on a

$x-\frac12 x^2 \leq \ln(1+x)\leq x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3$

[Lena]

Je ne le savais pas du tout ! Merci pour l'information !!

[balf]

Pourrais tu expliquer plus en détail, stp, je ne vois pas comment tu peux t'en sortir autrement que par les développements limités, ou alors, comme dit Guiguiche, c'est réellement tordu.D

De toute façon, derrière chaque équivalent, il y a en général un développement limité, au moins à l'ordre 1. En fait l'équivalence $\ln(1+u)\sim_0 u$ entraîne que $\ln\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)\sim_{+\infty} \dfrac 1x$ et donc
$$x\ln\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)\sim_{+\infty}x\, \dfrac 1x=1,$$
c'est-à-dire que $\lim_{x\to +\infty}x\ln\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)=1$. D'après la définition même de la limite; la différence tend vers $0$, de sorte qu'on peut composer par l'exponentielle :
$$\mathrm e^{x\ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)}\sim_{+\infty}\mathrm e^1=\mathrm e.$$
Quant à l'addition des équivalents, je ne crois que rien dans ce que je propose y oblige.

[kojak]

Quant à l'addition des équivalents, je ne crois que rien dans ce que je propose y oblige.

Oui je suis bien d'accord avec toi, mais ça ne permet pas de répondre à la limite posée initialement car il faut ici le terme d'ordre 2 pour pouvoir conclure.

[guiguiche]

Donc au bilan, lorsque $x\to+\infty$ :
$$x \ln\left(1+\dfrac1x\right) \sim x \cdot \dfrac1x \sim 1 \to 1$$
d'où :
$$x \ln\left(1+\dfrac1x\right)-1 \to 0$$
$$\exp\left( x \ln\left(1+\dfrac1x\right)-1 \right)-1 \sim x \ln\left(1+\dfrac1x\right)-1$$
$$\left(1+\dfrac1x\right)^x - \mathrm{e} \sim \mathrm{e}\dfrac{\ln\left(1+\dfrac1x\right)-\dfrac{1}{x}}{\dfrac1x}$$
Si on pose : $f(u)=\ln(1+u)-u$ alors $f'(u)=\frac1{1+u}-1=\frac{-u}{1+u}\sim -u$ lorsque $u\to0$ donc :
edit : suppression du grand n'importe quoi (ça m'apprendra à ne pas effectuer une recherche préalable au brouillon comme je passe mon temps à le préconiser )

Je confirme que c'est tordu sans développement limité, mais réalisable et pas inintéressant pour apprendre à enchaîner les idées.

@MB : pourquoi les x sont parfois droit, parfois italique avec les balises tex ?

[Lena]

Je n'aurais jamais trouvé ça, c'est hyper puissant ce qu'on peut faire avec les équivalents finalement c'est passionnant !! Merci beaucoup à tous pour le temps que vous avez consacré à ma limite !

[kojak]

Bonjour Alain,

Là, il y a un bug, il manque un coefficient $\frac12$ mais je n’arrive pas à comprendre pourquoi il n'arrive pas ici :

ce n'était pas correct, donc j'ai supprimé

En effet, $\ln(1+u)=u-\frac12u^2 + o(u^2)$ en $0$.

La limite cherchée est bien $\frac{\rm e}{2}$ et non $\rm e$.

[MB]

@MB : pourquoi les x sont parfois droit, parfois italique avec les balises tex ?

Il ne faut pas utiliser les balises tex pour saisir des formules, ok utilise plutôt mathjax via les dollars, simples ou doubles. Pour ce qui est de fonte droite ou italique, c'est sans doute lié à l'utilisation du e droit.

[guiguiche]

Visiblement, il y a encore des x droits parfois avec les balises dollar !
Et avec les balises tex, il y en avait dès la première expression qui ne comportait pas de e droit.

@kojak : j'ai écrit des bêtises que je viens d'effacer, donc réponse finale en standby pour le moment.