Matrices stochastiques

[simon13]

Bonjour serait il possible de m'aider svp ?

1) $M= \begin{pmatrix} 1/4 & 3/4 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$.

a) Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $M^2= aM+bI_2$.
b) Prouver que pour tout $n$ appartenant à $\N$, il existe $(a_n,b_n)$ appartenant à $\R^2$: $M^2=a_nM+b_nI_2$.
c) Déterminer les relations de récurrences sur les suites $(a_n)$ et $(b_n)$. En déduire les valeurs $a_n$ et $b_n$, puis la matrice $M^n$.
d) Montrer que la suite de matrice $(M^n)$ converge et que sa limite est une matrice stochastique.

2) $K= \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $L = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

d) Déterminer les puissances positives ou nulles de $L$.
e) Écrire $K$ comme une combinaison linéaire des matrices $I_3$ et $L$. En déduire les puissances positives ou nulles de $K$.
f) Montrer que la suite $(K^n)$ converge et que sa limite est une matrice stochastique.

1.a) J'ai trouvé $a=11/12$ et $b=1/12$.
1.b) J'ai utilisé la récurrence.
1.c) J'ai trouvé $a_{n+1}=11/12a_n=b_n$ et $b_{n+1}=1/12a_n$.

Merci par avance. J'ai fais de mon mieux, j'ai bcp cherché mais je ne sais pas du tout comment faire pour la suite....

[balf]

Bonsoir,
À la question b), la relation ne serait-elle pas $\; M^n=a_n M+b_nI_2$ ?

B. A.

[projetmbc]

Bonsoir.

Il serait bien de faire l'effort de rédiger dans un style non SMS.

Sinon quels sont les problèmes rencontrés ?

[simon13]

Bonsoir, je suis bloqué sur les questions d e et f, j'ai beau chercher mais je n'arrive pas à des resultats concrets... est il possible de m'éclairer svp ?

[simon13]

En effet balf c'est bien ca, c'est une erreur de ma part je m'en excuse. Je m'excuse également pour mon écriture sms, mais je ne sais pas comment on fait...

[guiguiche]

Tes relations de récurrence sont assez obscures.
Tu dois pouvoir montrer que la suite $(a_n )$ est récurrente linéaire d'ordre 2.
Quelle est ta définition de la convergence des suites de matrices ?
Sais-tu montrer que $M^n$ est stochastique pour tout entier $n$ ?

[simon13]

Oui c'est bon j'ai réussi à montrer que la suite est récurrente linéaire d'ordre 2 et que l'équation caractéristique est $r^2-11/12r-1/2=0$ et également que $M^n$ est stochastique. Mais mon problème est sur les questions e, d et f.

[projetmbc]

L est la somme d'une matrice diagonale et d'une triangulaire... A creuser.

[guiguiche]

L est la somme d'une matrice diagonale et d'une triangulaire... A creuser.

Une diagonale et une nilpotente qui commutent peut-être ?

[projetmbc]

Je ne voulais pas trop en dire non plus ...

Sinon quand on est bloqué, rien n'empêche de voir ce qu'il se passe pour de petites valeurs de l'exposant $n$ dans $L^n$. Ceci peut se faire sans souci avec une calculatrice.