Constructibilité d'un n-gone régulier

[nxtxn]

Bonjour,

Quelqu'un saurait me dire en quoi la constructibilité de $\cos(2\pi/n)$ est équivalente à celle d’un n−gone régulier ?

Merci d'avance!

[projetmbc]

Bonsoir.

Dessinez un tel polygone régulier et vous verrez pourquoi.

[nxtxn]

Même en dessinant, le lien n'est pas clair à mes yeux. Pourriez-vous expliciter ?

Merci d'avance.

[MB]

Code : Tout sélectionner

size(7cm,0);
int n = 10; real d=1/25;
pair pO = (0,0), pA = (1,0), pM = (cos(2*pi/n),0), pB=(cos(2*pi/n),sin(2*pi/n));
dot("$O$",pO,SW);
dot("$A$",pA,SE);
dot("$M$",pM,SW);
dot("$B$",pB,NE);
draw(arc(pO,1,0,360/n+5),1bp+blue);
draw(pM+(d,0)--pM+(d,d)--pM+(0,d),1bp+blue);
draw(pO--pA^^pO--pB^^pM--pB);
draw(pA--pB,1bp+red);

Sur un cercle de rayon $[OA]$, il faut construire le point $B$ tel que $\widehat{AOB}=\frac{2\pi}{n}$. Si $\cos(2\pi/n)$ est constructible, alors on peut construire le point $M$, puis le point $B$ (à l'aide d'une médiatrice).

[nxtxn]

Dès lors, peut-on construire un n-gone régulier centré en un point $(0;0)$ avec $n = 5$ et avec $n = 7$ ?

[balf]

Bonsoir,

Pour le pentagone régulier, oui, car il satisfait the conditions du théorème de Gauß-Wantzel :

Un polygone régulier est constructible à la règle et au compas si & seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts.

Pour le pentagone régulier, il existe d'ailleurs une construction due à Euclide, et je crois me rappeler que la construction de l'heptadécagone (due à Gauß lorsqu'il avait 19 ans) a fait l'objet d'un problème d'agrégation.
B. A.

[kojak]

bonjour,

Dès lors, peut-on construire un n-gone régulier centré en un point $(0;0)$ avec $n = 5$ ?

Oui car on connaît et on sait calculer la valeur exacte de $\cos \frac{2\pi}{5}$ et construire à la règle et au compas $\sqrt 5$.