Constructibilité d'un n-gone régulier

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.
[participation réservée aux membres inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
nxtxn
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 11
Inscription : dimanche 21 mars 2021, 09:55
Statut actuel : Étudiant

Constructibilité d'un n-gone régulier

Message non lu par nxtxn »

Bonjour,

Quelqu'un saurait me dire en quoi la constructibilité de $\cos(2\pi/n)$ est équivalente à celle d’un n−gone régulier ?

Merci d'avance!
Dernière modification par nxtxn le mardi 20 avril 2021, 11:57, modifié 1 fois.
projetmbc
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1974
Inscription : samedi 29 décembre 2007, 00:58

Re: Constructible & n-gone

Message non lu par projetmbc »

Bonsoir.

Dessinez un tel polygone régulier et vous verrez pourquoi.
nxtxn
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 11
Inscription : dimanche 21 mars 2021, 09:55
Statut actuel : Étudiant

Re: Constructible & n-gone

Message non lu par nxtxn »

Même en dessinant, le lien n'est pas clair à mes yeux. Pourriez-vous expliciter ?

Merci d'avance.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7551
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Constructible & n-gone

Message non lu par MB »

7490a27cf10acc5c23c6e87a2bfcc922994fe22d.svg
Sur un cercle de rayon $[OA]$, il faut construire le point $B$ tel que $\widehat{AOB}=\frac{2\pi}{n}$. Si $\cos(2\pi/n)$ est constructible, alors on peut construire le point $M$, puis le point $B$ (à l'aide d'une médiatrice).
MB. (rejoignez pCloud afin d'obtenir 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
nxtxn
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 11
Inscription : dimanche 21 mars 2021, 09:55
Statut actuel : Étudiant

Re: Constructible & n-gone

Message non lu par nxtxn »

Dès lors, peut-on construire un n-gone régulier centré en un point $(0;0)$ avec $n = 5$ et avec $n = 7$ ?
balf
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 4054
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Constructible & n-gone

Message non lu par balf »

Bonsoir,

Pour le pentagone régulier, oui, car il satisfait the conditions du théorème de Gauß-Wantzel :
Un polygone régulier est constructible à la règle et au compas si & seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts.
Pour le pentagone régulier, il existe d'ailleurs une construction due à Euclide, et je crois me rappeler que la construction de l'heptadécagone (due à Gauß lorsqu'il avait 19 ans) a fait l'objet d'un problème d'agrégation.
B. A.
kojak
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 10412
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Re: Constructible & n-gone

Message non lu par kojak »

bonjour,
nxtxn a écrit : mercredi 07 avril 2021, 22:11 Dès lors, peut-on construire un n-gone régulier centré en un point $(0;0)$ avec $n = 5$ ?
Oui car on connaît et on sait calculer la valeur exacte de $\cos \frac{2\pi}{5}$ et construire à la règle et au compas $\sqrt 5$.
Pas d'aide par MP.