Constructibilité d'un n-gone régulier

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nxtxn
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Constructibilité d'un n-gone régulier

Message par nxtxn »

Bonjour,

Quelqu'un saurait me dire en quoi la constructibilité de $\cos(2\pi/n)$ est équivalente à celle d’un n−gone régulier ?

Merci d'avance!
Dernière modification par nxtxn le mardi 20 avril 2021, 11:57, modifié 1 fois.
projetmbc
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Re: Constructible & n-gone

Message par projetmbc »

Bonsoir.

Dessinez un tel polygone régulier et vous verrez pourquoi.
nxtxn
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Re: Constructible & n-gone

Message par nxtxn »

Même en dessinant, le lien n'est pas clair à mes yeux. Pourriez-vous expliciter ?

Merci d'avance.
MB
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Re: Constructible & n-gone

Message par MB »

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Sur un cercle de rayon $[OA]$, il faut construire le point $B$ tel que $\widehat{AOB}=\frac{2\pi}{n}$. Si $\cos(2\pi/n)$ est constructible, alors on peut construire le point $M$, puis le point $B$ (à l'aide d'une médiatrice).
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nxtxn
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Re: Constructible & n-gone

Message par nxtxn »

Dès lors, peut-on construire un n-gone régulier centré en un point $(0;0)$ avec $n = 5$ et avec $n = 7$ ?
balf
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Re: Constructible & n-gone

Message par balf »

Bonsoir,

Pour le pentagone régulier, oui, car il satisfait the conditions du théorème de Gauß-Wantzel :
Un polygone régulier est constructible à la règle et au compas si & seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts.
Pour le pentagone régulier, il existe d'ailleurs une construction due à Euclide, et je crois me rappeler que la construction de l'heptadécagone (due à Gauß lorsqu'il avait 19 ans) a fait l'objet d'un problème d'agrégation.
B. A.
kojak
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Re: Constructible & n-gone

Message par kojak »

bonjour,
nxtxn a écrit : mercredi 07 avril 2021, 22:11 Dès lors, peut-on construire un n-gone régulier centré en un point $(0;0)$ avec $n = 5$ ?
Oui car on connaît et on sait calculer la valeur exacte de $\cos \frac{2\pi}{5}$ et construire à la règle et au compas $\sqrt 5$.
Pas d'aide par MP.