Corps et extensions

[nxtxn]

Bonjour,

quel polynôme minimal de $\zeta=\mathrm{e}^{\frac{2i\pi}n}$ sur $\mathbb{Q}\bigl(\cos\frac{2\pi}n\bigr)$ ?

[balf]

Bonjour,
Cela paraît assez clair: $\;\cos \frac{2\pi}n=\frac12\bigl(\zeta+\zeta^{-1}\bigr)$, d'où instantanément
$$ 2\zeta\cos\tfrac{2\pi} n=\zeta^2+1\quad\text{ou}\quad \zeta^2- 2\cos\tfrac{2\pi} n\,\zeta+1 = 0.$$
Reste à justifier que ce trinôme en $\zeta$ est irréductible sur $\mathbf Q\bigl(\cos\frac{2\pi}n \bigr)$, ce qui n'est pas très méchant.

B. A.

[MB]

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Quelle était la question initiale ?

[balf]

Bonsoir,
Il s'agissait de déterminer le polynôme minimal de $\mathrm e^{\tfrac{2i\pi}n}$ sur $\mathbf Q\bigl(\cos\frac{2\pi}n\bigr)$, s'il m'en souvient bien.

B. A.

[MB]

Merci @balf, je vais pouvoir éditer le premier message si jamais @nxtxn ne s'en donne pas la peine ...