Intégration discrète vs continue

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Caramel13
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[Résolu] Intégration discrète vs continue

Message non lu par Caramel13 »

Bonjour,
Je ne sais si c'est un faux problème, mais je voudrais votre avis. Merci d'avance.
A la base, je suis producteur d'énergie d'origine photovoltaïque. J'ai donc un onduleur qui me donne tous les soirs ma production d'énergie.
Grace à un petit ordinateur (un Raspberry PI3), je relève toutes les minutes la puissance générée par l'onduleur (c'est lui qui me la donne), et par un calcul très simple j'ai donc la somme des puissances qui me donne l'énergie produite du jour.
J'ai donc d'un côté, un dispositif électronique qui me donne (je pense) le résultat d'une intégrale continue, et d'un autre, par calcul, le résultat d'une intégrale discrète du même phénomène.
Ma question est donc : existe-t-il une formule/relation formelle qui me permettrait de calculer/estimer l'erreur entre les deux résultats ? Je pressens que cela dépend du pas de mes mesures discrètes, mais je voudrais l'avis d'un mathématicien éclairé !!!
Il y a bien longtemps j'arrivais à gérer cette angoisse existentielle mais j'ai trop décroché pour m'en sortir tout seul.
Merci encore. Cdlt.
JFG
MB
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Re: Intégration discrète vs continue

Message non lu par MB »

Bonjour, puisqu'il ne s'agit pas d'aide scolaire, j'ai déplacé le sujet.

Pour ce qui est de la question posée, je ne suis pas certain de bien comprendre la problématique. La puissance relevée chaque minute par le Raspberry est une puissance instantanée ou bien correspond à la puissance générée durant la minute précédente ? Je suppose qu'il s'agit d'une puissance instantanée, qui est considérée comme constante durant une minute, car sinon il n'y aurait pas d'erreur.

Dans ce cas, l'erreur dépend effectivement du pas des mesures, mais également de la forme du "signal" correspondant à la production d'énergie. Dans le cas limite ou la production d'énergie serait constante tout au long de la journée, il n'y aurait bien sûr aucune erreur.

En espérant avoir aidé ...
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Caramel13
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Re: Intégration discrète vs continue

Message non lu par Caramel13 »

Bonjour,
j'ai un peu cherché mon post mais effectivement il est mieux placé, merci.
Pour répondre à la question, le RaspPi récupère effectivement la puissance instantanée (via un site web, qui donne le V et le I à l'instant de la requête) et calcule la puissance $P(t)=V \times I$. Il ne s'agit pas de la moyenne pendant la dernière minute. Et donc j'intègre par sommation des mesures toutes les minutes pour avoir l'énergie de la journée $E = \sum P(t) / 60$.
Par contre, l'onduleur (par une mesure ''électronique'', que je suppose permanente, de l'énergie fournie au réseau) me donne en fin de journée une valeur en kWh.
Il n'y a pas une grosse différence (de l'ordre du 5/1000) et ma question est de savoir si, mathématiquement, il est possible, quand on ne connaît pas le signal mais qui pourrait être supposé comme une fonction linéaire (ou plutôt second degré, ou sinusoïde, graphiquement une courbe en cloche de la montée du soleil dans le ciel), d'évaluer l'erreur de méthode.
J'ai fait cela en Spé, mais il y a trop longtemps ;+))
Merci aux encore Matheux ...
Cdlt
Caramel13 / JFG
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Re: Intégration discrète vs continue

Message non lu par MB »

Caramel13 a écrit : mercredi 28 avril 2021, 11:25 Il n'y a pas une grosse différence (de l'ordre du 5/1000) et ma question est de savoir si, mathématiquement, il est possible, quand on ne connaît pas le signal mais qui pourrait être supposé comme une fonction linéaire (ou plutôt second degré, ou sinusoïde, graphiquement une courbe en cloche de la montée du soleil dans le ciel), d'évaluer l'erreur de méthode.
Oui, c'est possible. En supposant par exemple que la fonction $f$ est dérivable à dérivée continue et en notant $M = \sup_{t \in [a;b]} |f'(t)|$, l'écart entre l'intégrale de $f$ sur $[a;b]$ et son approximation par la méthode des rectangle est majorée par $\frac{(b-a)^2 \times M}{n}$.

Dans ton cas, tu as $n=24 \times 60$ et en faisant des hypothèses sur la fonction $f$ tu dois pouvoir obtenir une majoration de l'erreur.
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Caramel13
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Re: Intégration discrète vs continue

Message non lu par Caramel13 »

Bonjour et merci pour cette approche,
Donc en fatiguant très fort mes neurones (qui ne sont plus habitués à cela),
si je prends comme approximation une fonction sinus (il est peu probable que le soleil et sa radiation varie brutalement !!! ouf, on a eu chaud, quelle cata, déjà qu'on nous dit qu on va changer les pôles de place !)
P = Po * sin(t/720 * pi/2 ) (720 parce que midi = 12*60 min, pour un t de 0 à 1440, P va de 0 à 0 avec un max à midi à Po), soit P' = Po / 720 * cos(..) et cela a chaque minute, soit M = Po / 720 * sup | cos (..) | soit grosso modo M = Po / 720 * | cos (..) | et
à tout instant (b - a) = 1, écart (sur 1 minute) = 1/1440 * Po / 720 * | cos (..) |
et j'additionne tout cela, et j'ai mon écart sur la journée ..... ? Isn't ?
Bon, là c'est le concept, parce que la production n'est pas une sinusoide (quoique ?), elle est pas centrée à midi, l'intervalle ne va pas de 0 à 24h mais de 8h à 19h l'hiver et de 6h à 21h l'été, donc il faut améliorer le sinus, mais l'idée devrait y être ?
Une courbe en cloche, ce serait quoi ? genre la forme d'un sinus entre -pi/2 et 3*pi/2, mais en mieux ?

Le fin mot de l'histoire est de savoir si l'écart entre ''le mesuré'' et ''le fournit par le compteur'' relève de la méthode ou d'une panne de la technologie nécessitant intervention humaine.
Merci beaucoup pour une toute dernière réponse,
Merci pour ce site, il n'y avait pas cela dans la fin des années 60 !!
Cdlt,
Caramel13/JFG,
dans le sud sous la pluie !!! alors j'ai tout mon temps en attendant le retour de l'astre illuminant (aujourd'hui, 29/04, prod voisine de 0, pas de quoi allumer une ampoule), je vais peut-être mettre un moulin à aubes sous la gouttière !
MB
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Re: Intégration discrète vs continue

Message non lu par MB »

En prenant par exemple $P(t)=\frac{1}{2} P_0 \left(1-\cos(\frac{\pi}{720}t)\right)$ qui donnera une courbe de la forme suivante, on a $P'(t)=\frac{\pi}{1440}P_0\sin(\frac{\pi}{720}t)$ et donc $M=\frac{\pi}{1440}P_0$. Puisque $a=0$ et $b=1440$, l'erreur est donc majorée par $\frac{1440^2}{1440} \times \frac{\pi}{1440}P_0 = \pi P_0$.
courbe_puissance.png
Étant donné que $\int_0^{1440} P(t) \mathrm{d}t = 720 P_0$, l'erreur réalisée est en proportion de $\frac{\pi P_0}{720 P_0}=\frac{\pi}{720} \approx 0.4\%$. Par ailleurs, il ne s'agit que d'une majoration de l'erreur, donc l'erreur réelle (que l'on pourrait calculer) est vraisemblablement bien moins importante.
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Re: Intégration discrète vs continue

Message non lu par Caramel13 »

Bonsoir
Infiniment merci de cette dernière explication.
C'est en lisant votre dernière réponse que l'on voit toute la perte due à l'absence de pratique d'une technique.
J'ai a peu près tout compris mais j'aurai été bien en peine de pousser le raisonnement.
Pour la conclusion, l'erreur à 0.4% me plait bien puisque, au doigt mouillé, avec des courbes de production qui sont loin d'être parfaites, la météo locale mettant son grain de sel entre le soleil et le sol, j'étais parti sur du 0.5%.
Donc j’entérine le raisonnement et je vous en remercie.
Je pense que le post peut être clôturé.
En retour si, un jour, vous avez des soucis au plan informatique, n’hésitez pas !
Cordialement,
Caramel13/JFG
MB
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Re: Intégration discrète vs continue

Message non lu par MB »

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