Probabilités (facteur ivre)

[jochem]

Bonjour,
Je suis assez rouillé en maths mais à la demande de mon petit fils, je me suis penché sur ce problème dans une version simplifiée, où $p=n$ et $r=1$.
La question est : Un facteur possède n lettres adressées à n destinataires distincts.
Il est totalement ivre et poste au hasard une lettre par boîte.
Quelle est la probabilité d’obtenir la bonne répartition ?
Pour cette question, Il y a une seule possibilité de bonne remise parmi les $n!$ possibilités.
La probabilité recherché est donc $P=\frac{1}{n!}$
Dans le problème posé ici par Hiruma, la réponse proposée est $P=\frac{1}{n^n}$ si on prend $n=p$.

La différence de résultat est assez troublante et pose la question de la précision de l’énoncé du problème.

Le problème avec $n=p$ est proposé page 48 et la solution page 210 de l'ouvrage Aléatoire : introduction à la théorie et au calcul des probabilités de Méléard Sylvie et extrait de cours à l'Ecole Polytechnique.

[MB]

Bonjour,

Pour répondre à la question, la situation ne semble pas tout à fait identique dans les deux exercices, car dans la situation initiale, le facteur n'est pas supposé distribuer le bon nombre de lettres dans chaque boîte (alors que dans votre exercice vous supposez qu'il dépose une seule lettre par boîte).

[jochem]

Bonjour,
Sur la forme, je ne comprend pas: ma contribution et votre réponse semble sur un fil distinct du fil d'origine.

viewtopic.php?t=8472

Sur le fond, l'affirmation du post d'origine : "On a clairement..." aurait mérité plus d'explication.
Cdlt.

[MB]

J'ai effectivement divisé les deux sujets, car il ne s'agit pas exactement du même exercice (mais j'ai mis un lien vers l'ancien sujet dans votre premier message).

Pour l'affirmation d'origine, la situation correspond au cas où l'univers $\Omega$ est l'ensemble des fonctions de $E=\{1;\cdots;n\}$ dans $F=\{1;\cdots;p\}$. Il est assez clair que le cardinal de $\Omega$ est $p^n$ et donc que la probabilité d'une de ses issues est $\frac{1}{p^n}$.

[jochem]

Merci
Si je comprends bien:
dans "mon" pb (qui est en fait tiré d'un polycopié de l'X) on considère que 1 lettre et 1 seule sera distribuée dans chaque boite, donc que chaque boite recevra exactement 1 lettre,
alors que dans le pb initial viewtopic.php?t=8472 et en restreignant les hypothèses au cas où le nombre de lettres (n) est égal au nombre de boites (p), on considère que une boite donnée peut recevoir de 0 à n lettres, le total des $r_i$ étant évidemment $n=p$.
Cordialement.

[MB]

Oui, dans le problème initial, le facteur pourrait très bien déposer toutes les $n$ lettres dans la première boîte et plus rien dans les $n-1$ autres.