Trigonométrie (aire d'un trapèze isocèle)

[moalex]

Bonjour, j'ai du mal avec un numéro de mon exercice de cahier concernant la trigo.

Le problème va comme suit:

On construit un trapèze isocèle de telle manière que sa petite base et ses deux côtés non parallèles soient égaux. Quel doit-être l'angle d'inclinaison de ses côtés non parallèles pour que son aire soit maximale.

Étant donné que je n'ai pas de réelle mesure je ne sais pas comment m'y prendre. Pourriez-vous m'aider SVP.

[MB]

Bonjour, avec une figure ça ira peut-être mieux.

Commencer par exprimer $b$ et $h$ en fonction de $a$ et de $\alpha$, puis exprimer l'aire du trapèze en fonction de ces deux même variables.

[moalex]

Oui, la représentation a déjà été faite mais comment exprimer b et h sans aucun chiffre quelconque, car mon seul indice réside dans le fait que les cotés et la petite base ont la même mesure.

[MB]

On peut exprimer $\sin(\alpha)$ et $\cos(\alpha)$ en fonction de $a$, $b$ et $h$.

[moalex]

Ok j'y avais pensé. Du coup j'aurai :

$$\sin(\alpha) = \frac{h}{a}$$
et
$$\cos(\alpha) = \frac{b}{a}$$
Par contre, je ne sais plus quoi a faire a partir de là.

[MB]

Oui, donc tu peux exprimer $h$ et $b$ en fonction de $a$ et $\alpha$. Il faudra ensuite exprimer l'aire du trapèze en fonction de ces deux mêmes variables.

[balf]

Pour simplifier la vie, il faudrait ne pas oublier que $\sin\alpha$ est le facteur de projection sur la verticale, $\cos\alpha$ le facteur de projection sur l'horizontale, et que l'aire d'un trapèze est le produit de sa hauteur par la moyenne des bases.

[MB]

Pour l'aire du trapèze, il est assez simple de voir qu'avec les notations précédentes, elle est donnée par $(a+b) \times h$.
Et donc la suite @moalex ?

[moalex]

Désolé du délai.
Donc maintenant je sais que ma base est $\cos \alpha$ et que ma hauteur est $\sin \alpha$.
Mais il me manque toujours ma grande base pour pouvoir effectuer une équation non?

[MB]

Donc maintenant je sais que ma base est $\cos x$ et que ma hauteur est $\sin x$.

Alors on peut changer les notations est poser $x = \alpha$, je n'ai rien contre, mais il faut être précis dans ce que l'on écrit. Sauf à poser $a = 1$, mais dans ce cas il faut le dire, la hauteur $h$ n'est pas égale à $\sin(x)$. De même, aucune des deux bases du trapèze n'est égale à $\cos(x)$.

Merci de préciser vos réponses, en utilisant si possible les notations introduites sur la figure.

[moalex]

Je crois avoir trouvé les informations nécessaire.
J'aurais donc :

• $h = \sin x$
• $b = \cos x$ (petite base)
• $B = \cos x + 2y$ (grande base)

Cela vous semble t'il correct?

[MB]

Non ça ne me semble pas correct, et je pense qu'il serait préférable de rester sur les notations indiquées sur la figure (à part éventuellement le $x$ au lieu du $\alpha$. D'ailleurs, à quoi correspond donc le $y$ dans vos résultats ?

[moalex]

Le $y$ correspondrait aux 2 côtés inconnus de la base de mon trapèze.

[MB]

Le $y$ serait donc égal au $b$ de la figure ?
Une nouvelle fois, merci d'utiliser les mêmes notations que sur la figure, car sinon on ne va jamais s'y retrouver.
Dans tous les cas les résultats ne sont pas corrects.

[moalex]

Ok je viens de comprendre. Un de mes professeurs m'a expliqué qu'en fait, il s'agissait de substituer mon $x$ qui est la valeur de mes 3 côtés, car la valeur de $x$ ne change rien au problème étant donné que l'angle est la chose que nous cherchons.

[MB]

Ah donc si je comprends bien, $x$ correspond à $a$ et pas à l'angle $\alpha$ !? Je pensais que pour vous $b$ était la petite base et $B$ la grande base. Une dernière fois, merci d'utiliser les notations de la figure précédentes.

[balf]

Je voudrais insister sur une petite difficulté: en fin de compte, l'aire du trapèze va s'exprimer en fonction de $a$ et de $\cos\alpha$. Si l'on pose $x=\cos\alpha$, on obtient un trinôme du second degré en $x$, et comme la fonction cosinus est décroissante sur $[0,\pi]$ (seul intervalle géométriquement significatif ici), un maximum par rapport à $\alpha$ va correspondre à un minimum par rapport à $x$.
B. A.

[MB]

Bonjour @balf, j'aurais personnellement limité $\alpha$ à l'intervalle $[0;\frac{\pi}{2}]$. Et le fait de poser $x = \cos(\alpha)$ ne ferait pas apparaître un radical dans l'expression donnant l'aire du trapèze en fonction de $x$ ?

[Edit] En effectuant les calculs, je trouve $A = a^2 \sin(\alpha)(1+\cos(\alpha))$.
Donc en posant $f(\alpha)=\sin(\alpha)(1+\cos(\alpha))$, il me semble que ce serait $f'(\alpha)$ que l'on pourrait exprimer sous la forme d'un polynôme de degré 2 en $x$.

[balf]

Bonjour, @MB,

Il n'y aura pas de radical, parce qu'on peut utiliser ici les formules de duplication :
$$f(\alpha)=a^2\Bigl(\sin\alpha+\frac12\sin2\alpha\Bigr), \;\text{ d'où }\;f'(\alpha)=a^2(\cos\alpha+\cos 2\alpha)=a^2(2\cos^2\alpha+\cos\alpha-1).$$
B. A.

[MB]

Oui, c'est donc bien $f'$ que l'on exprime comme un polynôme de degré 2 en $x$.