Constructions de l'ensemble des entiers naturels

[MB]

Bonjour, en consultant ce document, je tombe sur le passage suivant (première page).

Il y a généralement deux façons d’introduire l’ensemble $\N$ des entiers naturels. La première, axiomatique, postule l’existence de cet ensemble avec un certain nombre de propriétés. Cette approche, que ce chapitre présente, est due au mathématicien italien Peano et au mathématicien allemand Dedekind. Une seconde approche part de l’ensemble des nombres réels $\R$, au préalable construit par une axiomatique appropriée, puis définit $\N$ comme étant le plus petit sous-ensemble inductif de $\R$, c’est-à-dire le plus petit (au sens de l’inclusion) vérifiant le fait que ses sous-ensembles non vides contiennent toujours un plus petit élément. (Cette propriété n’est pas vérifiée par d’autres ensembles de nombres, par exemple l’ensemble des nombres rationnels. Cet ensemble possède un sous-ensemble, celui des rationnels positifs, qui ne contient pas de plus petit élément.)

La partie en gras me semble étrange et j'ai l'impression qu'il pourrait y avoir confusion entre ensemble inductif et partie inductive, c'est-à-dire une partie $X$ de $\R$ telle que $0 \in X$ et $x \in X \implies x+1 \in X$.

[projetmbc]

Bonjour.

A priori tu as raison.

Par contre je suis choqué que l'on parle de $\mathbb{R}$ pour construire $\mathbb{N}$.

Comment cet ensemble $\mathbb{R}$ est-il construit ? Il me semble que toutes les constructions utilisent les rationnels, ou les décimaux éventuellement. Comment avoir les rationnels sans les naturels ?

A qui doit-on ce document ?

[MB]

Comment cet ensemble $\mathbb{R}$ est-il construit ? Il me semble que toutes les constructions utilisent les rationnels, ou les décimaux éventuellement. Comment avoir les rationnels sans les naturels ?

Bonne question, je ne connais pas non plus de construction "directe" de l'ensemble des réels.

A qui doit-on ce document ?

A priori Yvan Saint-Aubin, du département de mathématiques et de statistique de l'université de Montréal.

[guiguiche]

Quelques éléments de réponse en fin d'article : https://fr.wikipedia.org/wiki/Construct ... r%C3%A9els (je n'y connais rien).

[projetmbc]

Merci pour le lien.

• Les hyperationnels nécessitent d'avoir des rationnels donc $\mathbb{N}$.
• Les quasi-morphismes s'appuient sur $\mathbb{Z}$ donc sur $\mathbb{N}$.
• Pour les surréels, que je ne connais pas faute de temps, je lis tout de même ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_su ... nstruction. Qui dit récurrence, dit $\mathbb{N}$.

On doit partir de $\mathbb{N}$ quoiqu'il arrive jusqu'à preuve du contraire.

Je pense que même les constructivistes ne remettent pas en cause $\mathbb{N}$.

[MB]

Concernant les constructions de $\R$, ce document donne également quelques pistes intéressantes, mais mis à part pour la droite de Souslin, l'ensemble des entiers naturels est toujours un prérequis.

[projetmbc]

Sauf que...

• "Les droites de Souslin existent si l'axiome de constructibilité V = L est ajouté à la théorie." d'après https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Souslin.
• On a besoin de la notion d'ensemble constructible d'après https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de ... ilit%C3%A9.
• La définition formelle fait appel aux naturels : voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_c ... n_formelle.

En espérant ne pas avoir fait fausse route.

Je suis certain, ou presque, que les mathématiques commencent toujours de façon naturelle.

PS: merci pour les droites de Souslin.

[MB]

Pour le premier point, je pense qu'il serait préférable que les droites de Souslin n'existent pas (c'est-à-dire que l'hypothèse de Souslin soit vérifiée) si l'on souhaite pouvoir s'en servir comme "définition" de $\R$.

Tout ensemble non vide totalement ordonné qui satisfait les conditions 1 à 4 et qui n'est pas isomorphe pour l'ordre à $\R$ est une droite de Souslin. L'hypothèse de Souslin est donc qu'il n'existe pas de droite de Souslin.

Par contre, il semble prouvé que cette hypothèse est indépendante des axiomes classiques de la théorie des ensembles et il semble donc délicat de s'en servir comme définition de $\R$ ...