Convergence d'une suite

[cytax]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour comprendre la résolution d'un exercice. Je suis en 2ème année de Licence en économie et nous étudions les séries.

On nous demande de déterminer la convergence de la série de terme général:

$$\text{(a)} \quad U_n = \frac{2^n}{1+3^n} \quad\text{(b)}\quad U_n= \frac{n^2}{1+3^n} \quad\text{(c)}\quad U_n= n^{-2} \times \text{e}^n$$

Dans chacun des cas notre prof a utilisé Le Critère d'Alembert, or il me semble qu'il n'est utile uniquement avec des factorielles ?
Pouvez-vous s'il vous plaît m'apporter un moyen de connaître si la suite est convergente pour chacun de ces cas ?

Merci de votre aide.

[kojak]

Bonjour,

Le critère de d'Alembert en s'applique pas qu'avec des factorielles. A partir du moment où il te donne la réponse pour conclure, tant mieux.
Pour au moins la première des suites, il y a d'autres possibilités.
Après, quels sont les critères de convergence des séries que tu as dans ton cours ?

[cytax]

Nous avons vu le critère de comparaison; critère de Cauchy et Riemann.

[kojak]

Vous n'avez pas vu également celui avec les équivalents ?

[styren]

Puisque tu as un "critère de comparaison", tu peux remarquer que $0<\frac{2^n}{1+3^n}<(\frac{2}{3})^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$et $0<\frac{n^2}{1+3^n}<\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n$ pour $n\geqslant4$.

[Arthur Accroc]

Dans chacun des cas notre prof a utilisé Le Critère d'Alembert, or il me semble qu'il n'est utile uniquement avec des factorielles ?
Pouvez-vous s'il vous plaît m'apporter un moyen de connaître si la suite est convergente pour chacun de ces cas ?

Le critère de d'Alembert est très bien... sauf quand il ne s'applique pas. Son vrai nom est "critère de comparaison aux suites géométriques", donc si ta suite est à convergence lente, il ne va rien t'apporter.
Dans un soucis pédagogique, je préfère ne pas trop l'employer, et privilégier les critères de comparaison. Par exemple, dans le deuxième cas, on sait que $\frac{n^\alpha}{3^n}$ a pour limite $0$ quel que soit $\alpha$. Donc $n^2U_n$ tend vers $0$, ce qui signifie que $U_n$ est négligeable devant $\frac{1}{n^2}$, terme général d'une série absolument convergente. pareil pour le troisième exemple.
Pour le premier, on t'a déjà donné une méthode simple : $\frac{2^n}{1+3^n}\le \left(\frac23\right)^n$, on peut aussi remplacer le $\le$ par un $\sim$.
L'idée est de "sentir" qui va dominer dans le comportement de la suite lorsque $n$ tend vers l'infini.