Forme linéaire identiquement nulle

[mathematix89]

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés (des espaces de Hilbert) tels que $F \subset E$. On considère une forme linéaire continue $f$ sur $E$ telle que $f = 0$ sur $F$. J'aimerais montrer que $f$ est identiquement nulle sur $E$.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

[MB]

Bonjour, en supposant que ce résultat soit correct, ne serait-il pas possible de montrer que toute forme linéaire continue est identiquement nulle ? (en considérant le cas $F = \{ 0 \}$)

[mathematix89]

Bonjour MB. Je ne saisis pas bien ta question.

[MB]

Le résultat que tu souhaites prouver ne me semble pas correct. D'où provient-il ?

[guiguiche]

Bonjour

Si je prends $E=\mathcal{M}_2(\R)$, $f$ l'application trace, $F=\mathrm{Ker}(f)\subset E$ et enfin $\|M\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$ alors, pour $M_n=\dfrac1nE_{1,1}$, j'ai bien $M_n\to0$ et $f(M_n)\to0$ mais $f(M_n)\ne0$ pour tout entier $n\geqslant1$.

Un sous-espace vectoriel, même un hyperplan, manque de densité dans le gros espace, du moins dans mes souvenirs lointains de notions que je ne pratique plus au quotidien.

[MB]

Oui, je pense qu'il faut ajouter l'hypothèse que $F$ est dense dans $E$.

[projetmbc]

C'est certain et c'est un classique de l'analyse fonctionnelle.