Forme linéaire identiquement nulle

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mathematix89
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Forme linéaire identiquement nulle

Message non lu par mathematix89 »

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés (des espaces de Hilbert) tels que $F \subset E$. On considère une forme linéaire continue $f$ sur $E$ telle que $f = 0$ sur $F$. J'aimerais montrer que $f$ est identiquement nulle sur $E$.

Quelqu'un pourrait m'aider ?
MB
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Re: Fonction identiquement nulle

Message non lu par MB »

Bonjour, en supposant que ce résultat soit correct, ne serait-il pas possible de montrer que toute forme linéaire continue est identiquement nulle ? (en considérant le cas $F = \{ 0 \}$)
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mathematix89
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Re: Forme linéaire identiquement nulle

Message non lu par mathematix89 »

Bonjour MB. Je ne saisis pas bien ta question.
MB
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Re: Forme linéaire identiquement nulle

Message non lu par MB »

Le résultat que tu souhaites prouver ne me semble pas correct. D'où provient-il ?
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guiguiche
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Re: Forme linéaire identiquement nulle

Message non lu par guiguiche »

Bonjour

Si je prends $E=\mathcal{M}_2(\R)$, $f$ l'application trace, $F=\mathrm{Ker}(f)\subset E$ et enfin $\|M\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$ alors, pour $M_n=\dfrac1nE_{1,1}$, j'ai bien $M_n\to0$ et $f(M_n)\to0$ mais $f(M_n)\ne0$ pour tout entier $n\geqslant1$.

Un sous-espace vectoriel, même un hyperplan, manque de densité dans le gros espace, du moins dans mes souvenirs lointains de notions que je ne pratique plus au quotidien.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
MB
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Re: Forme linéaire identiquement nulle

Message non lu par MB »

Oui, je pense qu'il faut ajouter l'hypothèse que $F$ est dense dans $E$.
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projetmbc
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Re: Forme linéaire identiquement nulle

Message non lu par projetmbc »

C'est certain et c'est un classique de l'analyse fonctionnelle.