[MPSI] Trigonométrie suite

[2hell]

voila l'énoncé : en utilisant $sin(a)sin(b)=-\frac{1}{2}(cos(a+b)-cos(a-b))$ et $sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}(sin(a+b)+sin(a-b))$, établir que, pour tout réel $x$, $sin(3x)=4sin(x)sin(x+\pi/3)sin(x+2\pi/3)$.

J'ai commencé a réfléchir mais je me suis embrouillé. Ma démarche :

1/ remplacer $sin(x+\pi/3)sin(x+2\pi/3)$ dans $sin(a)sin(b)$,
2/ aprés avoir obtenu une forme en $sin(a)cos(b)$ remplace avec $sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}(sin(a+b)+sin(a-b))$.

Est -ce que cette démarche est la plus efficace ? y - a -t il une astuce?

de même pour la loi des sinus je n'arive pas a m'en sortir .... les données sont I milieu de [CB], r rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et $\Omega$ son centre. En uilisant le triangle $\Omega IB$ montre que $\frac{a}{sin(A)}=2r$ avec $A = \widehat{BAC}$.

Je ne vois pas les propriétés à employer ...

Merci d'avance,
Désolè pour l'écriture mais je n'ai pas réussi a télécharger le programme (56k).

[Edit: MB] Utilisation du code Latex, présentation et orthographe (merci d'éviter le style SMS).

[MB]

Désolè pour l'écriture mais je n'ai pas réussi a télécharger le programme (56k).

Pas besoin d'installer de logiciel, il suffit de modifier un peu la saisie du message en utilisant du code Latex pour que l'affichage soit plus lisible. Voir ici.

@nirosis : on vient de perdre du temps tous les deux puisque j'ai vu que tu avais édité le message pour le passer en latex et que je le faisais en même temps. Du coup tes modifications sont perdues car tu avais terminé avant moi.

[Fradin]

Bonjour,

Le plus naturel il me semble ici, est d'utiliser les formules d'Euler et de remplacer dans $4\sin(x)\sin(x+\pi/3)\sin(x+2\pi/3)$. En posant $j=\exp(i\frac{2\pi}3)$, on obtient (on sort $e^{i\pi/3}$ et $e^{i2\pi/3}$):

$\frac{1}{2i}[(e^{ix}-e^{-ix})(e^{ix}-j^2e^{-ix})(e^{ix}-je^{ix})]$, puis on développe, sachant que $1+j+j^2=0$, tout se simplifie, il reste $\frac{1}{2i}[e^{i3x}-e^{-i3x}]=\sin(3x)$.

Cordialement,

P.Fradin

[nirosis]

@MB : tant pis ! je ferai attention maintenant.

@P.Fradin : un problème d'authentification sur le forum ? tu as posté en mode invité.

[MB]

@MB : tant pis ! je ferai attention maintenant.

On peut pas trop savoir si on fait la modif en même temps.

[P.Fradin]

@P.Fradin : un problème d'authentification sur le forum ? tu as posté en mode invité.

Non pas de problème, je n'étais pas sur ma machine, je n'ai pas fait attention
c'est tout.

[nirosis]

On peut pas trop savoir si on fait la modif en même temps.

Si je te vois connecté, je me douterai bien !