Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

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YOURI1
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Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par YOURI1 »

Bonjour,

Je veux montrer (1) :

$(F_2[Y]/(Y^2+Y+1))[X]/(X^2+X+Y)$ est isomorphe à $F_2 [X,Y]/(Y^2+Y+1, X^2+X+Y)$

$Y$ étant la classe de $Y$ dans $F_2 [Y]/(Y^2+Y+1)$.

Je remarque que $(F_2 [Y]/(Y^2+Y+1))[X]$ est isomorphe à $F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1)$.
On a donc :

$(F_2 [Y]/(Y^2+Y+1))[X]/(X^2+X+Y)$ isomorphe à $(F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1))/\pi(X^2+X+Y)$.

En appelant $\pi$ la la projection canonique de $F_2 [X,Y]$ vers $F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1)$.

Puisque par l’ isomorphisme $\varphi$ on a $\varphi(X^2+X+Y) = \pi(X^2+X+Y)$.

Si on applique à présent la propriété :

Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$ alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I,\pi^{-1}(J))$.
$\pi^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $\pi$.

Posant $A = F_2 [X,Y]$, $I= (Y^2+Y+1)$ et $J = \pi(X^2+X+Y)$, je ne vois pas pourquoi on aurait :

$\pi^{-1}[\pi(X^2+X+Y)]=(X^2+X+Y)$ et donc je ne vois pas comment démontrer (1).

Y a-t-il des erreurs dans mon tentative de démonstration. Si oui pouvez-vous m‘aider à en construire une qui soit juste.

Merci beaucoup.
Dernière modification par MB le mardi 18 janvier 2022, 09:01, modifié 1 fois.
MB
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par MB »

Bonjour, j'ai déplacé le sujet dans le bon forum et j'ai mis en forme le message avec latex, mais je ne suis pas certain de comprendre la propriété suivante.
YOURI1 a écrit : mardi 18 janvier 2022, 08:33 Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$ alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I,\pi^{-1}(J))$.
$\pi^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $\pi$.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par YOURI1 »

Bonjour,

D'abord merci d'avoir mis en latex ma question.

Je donne l'explication pour $(A/I)/J$ isomorphe à $A(I,P^{-1}(J))$. avec $P$ projection canonique de $A$ vers $A/I$.

$P^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $P$.

En effet d'après un théorème d'isomorphisme sur les anneaux $(A/I)/P^{-1}(J)/I$ est isomorphe à $A/P^{-1}(J)$.
Or $A/P^{-1}(J) = A/(P^{-1}(J),I)$ puisque $P^{-1}(J)$ contient $I$.
MB
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par MB »

La notation $A(I,P^{-1}(J))$ reste peu claire pour moi.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par YOURI1 »

Bonsoir,

Merci encore pour la mise en forme en latex.

La notation $A/(I, P^{-1}(J))$ signifie que l'on considère l'espace quotient par l’idéal engendré par $I \cup P^{-1}(J)$.
MB
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par MB »

D'accord donc il manque un symbole quotient. Je vais éditer les messages précédents.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par YOURI1 »

Bonjour,

J'ai résolu mon problème car en appelant $P$ la projection canonique de $A$ vers $A/I$ j'étais passé à côté de ce que $P^{-1}(J) = I+J$.

Or si $I=(a)$ et $J=(b)$ alors $(a)+(b) =(a,b)$.

$P^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $P$.

Merci à MB pour la mise en latex de mon sujet et de mes réponses.
MB
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par MB »

Merci pour le retour. Et en ce qui concerne la mise en forme latex, un petit guide est disponible ici.
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projetmbc
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par projetmbc »

Bonjour.

Pour ce type d'isomorphisme, l'idéal est de raisonner en général. L'abstraction, cela a du bon. ;-)
YOURI1
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$

Message non lu par YOURI1 »

Bonjour,

L'idée que je n'ai pas développée dans ma question est d'établir qu'on est en fait dans F16 et pour cela je ne pouvais raisonner en restant dans un cadre général.