[L3] Sous-groupes de $\Z^n$

[Atlas]

Bonjour,

J'ai un DM à rendre pour bientôt et j'ai beaucoup de mal avec des questions d'un exercice qui porte sur les sous-groupes de $\Z^n$. J'ai réussi à faire les questions 1, 2, 3 et 5. Je suis bloqué aux questions 4, 6 et à l'exemple. J'ai essayé de décomposer un élément de $f^{-1}(K)$ avec des vecteurs du type $(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)$ mais sans succès.Tout aide est la bienvenue. Merci d'avance pour vos réponses.
Voici l'énoncé :

Exercice 4. Soit $n \in \N^*$ et soit $\Z^n$ le groupe additif des vecteurs en dimension $n$ à coefficients entiers. Le but de cet exercice est de montrer par récurrence sur $n$ que tout sous-groupe de $\Z^n$ est engendré par $n$ vecteurs.
Initialisation. Le cas initial $n = 1$ est un résultat du cours. Énoncer-le.
Hérédité. Supposons $n > 1$. Soit $K$ un sous-groupe de $\Z^n$.
(i) Soit $f : \Z^{n−1} \rightarrow \Z^{n}$ l’application
$$f(x_1, x_2, \cdots , x_{n−1}) = (x_1, x_2, \cdots , x_{n−1}, 0).$$
Montrer que $f$ est un morphisme injectif de groupes.
(ii) Soit $g : \Z^n \rightarrow \Z$ l’application
$$g(x_1, x_2, \cdots , x_n) = x_n.$$
Montrer que $g$ est un morphisme surjectif de groupes.
(iii) Montrer qu’il existe un entier $r \in \Z$ tel que $g(K) = \Z r$ .
(iv) Montrer qu’il existe $n−1$ vecteurs $v_1, v_2, \cdots , v_{n−1} \in \Z^{n−1}$ tels que
$$f^{−1}(K) = \Z v_1 + \Z v_2 + \cdots + \Z v_{n−1}.$$
(v) Montrer qu’il existe $w \in \Z^n$ et que $g(w) = r$.
(vi) Donner une famille génératrice à $n$ vecteurs pour le sous-groupe $K$ et conclure.
Exemple. Soit $S$ l’ensemble des solutions dans $\Z^3$ de l’équation linéaire $5x + 3y + 2z = 0$. Montrer que $S$ est un sous-groupe et trouver une famille génératrice à trois vecteurs pour $S$.

[MB]

Bonjour, pour la question 4, tu as tenté d'utiliser l’hypothèse de récurrence ?

[Atlas]

Tu veux dire supposer que la proposition est vrai au rang $n$ ? Je me posais justement la question. Le sujet est pas clair à ce sujet. Du coup, je me demandais s'il y avait une autre méthode.

[MB]

Tu veux dire supposer que la proposition est vrai au rang $n$ ?

Plutôt au rang $n-1$, puisque l'objectif est de prouver qu'elle l'est également au rang $n$. C'est le principe d'une récurrence.

[Atlas]

Oui, je me suis trompé. Je m'en suis rendu juste après mais je pouvais pas modifier le message. Du coup, est-ce que c'est bêtement dire qu'on suppose que c'est vrai au rang $n-1$ ? Dans ce cas, la réponse est directe vu que $f^{-1}(K)$ est un sous-groupe de $\Z^{n-1}$.

[MB]

Du coup, est-ce que c'est bêtement dire qu'on suppose que c'est vrai au rang $n-1$ ? Dans ce cas, la réponse est directe vu que $f^{-1}(K)$ est un sous-groupe de $\Z^{n-1}$.

Oui.

[Atlas]

Du coup, il me reste la question 6 et l'exemple. Pour la question 6, je vois pas comment faire. Je sais pas si c'est important que $f$ soit injective et que $g$ soit surjective. J'ai pensé à additionner $f(f^{-1}(K))$ et $\Z w$ mais j'en suis pas sûr. Le $w$ vient de la question 5.

[MB]

Pas évident d'après l'énoncé, mais le $w$ de la question 5 est-il un élément de $K$ ?

[Atlas]

Normalement oui car $g(w) \in g(K)=\Z r$. D'où ensuite mon idée mais je sais pas si c'est juste.

[projetmbc]

On veut générer un ensemble, il y a surjectivité... Tout est dit ou presque.

[Atlas]

J'ai additionné $f(f^{-1}(K))$ et $Zw$ mais je sais pas si c'est correct.

[MB]

En effet, puisque $r \in g(K)$, il existe $w \in K$ tel que $g(w)=r$.

Pour la suite, considérons $x=(x_1,\cdots,x_n) \in K$.
On a alors $g(x) = x_n = rk_n$ et donc $g(x-k_n w)=0$. Ainsi, on a $x-k_n w \in K \cap \operatorname{Im}(f)$, ce qui devrait permettre de conclure ?

[Atlas]

Alors $x-k_{n}w=k_{1}f(v_1)+k_{2}f(v_2)+\cdots+k_{n-1}f(v_{n-1})-k_{n}w$ et donc $K$ est bien engendré par n vecteurs ? J'ai utilisé la question 4.

[MB]

Pourquoi le $-k_n w$ dans le membre de droite ?

[Atlas]

Il faut $n$ vecteurs qui engendre tout élément de $K$. Je crois que le dernier est $w$, mais je me trompe sûrement.

[MB]

Oui, mais c'est $x$ qu'il faut décomposer.
On a $x-k_{n}w=k_{1}f(v_1)+k_{2}f(v_2)+\cdots+k_{n-1}f(v_{n-1})$ (il faut être capable de justifier clairement cette affirmation) et donc $x=k_{1}f(v_1)+k_{2}f(v_2)+\cdots+k_{n-1}f(v_{n-1})+k_{n}w$.

[Atlas]

D'accord, vu que $x-k_{n}w \in K \cap Im(f)$, en utilisant la question 4, on obtient la première égalité car $f^{-1}(x-k_{n}w) \in \Z v_{1}+\Z v_{2}+...+\Z v_{n-1}$ alors $x-k_{n}w \in f(\Z v_{1}+\Z v_{2}+...+\Z v_{n-1})=\Z f(v_{1})+\Z f(v_{2})+...+\Z f(v_{n-1})$ (égalité facile à prouver en prenant un élément quelconque de $\Z v_{1}+\Z v_{2}+...+\Z v_{n-1}$ et le $-k_{n}w$ était en trop car ça revient à un élément de $K$) d'où la ligne suivante et donc la conclusion finale.
Il me reste plus que l'exemple et là je sais pas si il y a une méthode particulière parce que trouver une famille génératrice dans $\R^3$ c'est facile mais dans $\Z^3$ c'est plus compliqué.

[projetmbc]

Pour l'exemple, on devrait pouvoir mécaniquement utiliser la méthode de l'étape d'hérédité du raisonnement par récurrence. Non ?

[Atlas]

Du coup, il faudrait que je trouve deux fonctions $f$ et $g$ ? Est-ce qu'il n'y a pas une méthode plus simple ? Est-ce que je peux trouver directement une famille génératrice ?

[Atlas]

Est-ce que l'élément neutre peut faire partie de la famille génératrice ? Parce-qu'en utilisant la méthode de l'exercice, je trouve les vecteurs $(-3,5,0),(0,0,0)$ et $(-1,1,1)$.