Fonction Gamma

[James]

Bonjour,

Soit $\alpha \in ]0,1[$. On considère pour tout $x>0$ la fonction $$f_{\alpha} : x \mapsto \int_{0}^{+\infty} \dfrac{t^{\alpha-1}}{t+1} e^{-xt} ~ \mathrm{d}t$$ bien définie, continue sur $[0, +\infty[$ et de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[.$ avec $$f^{\prime}_{\alpha}(x) = - \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{t^{\alpha}}{t+1} e^{-xt} ~\mathrm{d}t$$

On rappelle que la fonction $\Gamma$ est définie pour tout $x$ strictement positif par $$\Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} ~ \mathrm{d}t$$

On veut montrer que pour tout $x > 0,$ on a :
$$f_{\alpha}(x) - f^{\prime}_{\alpha}(x) = \dfrac{\Gamma(\alpha)}{x^{\alpha}} $$

J'ai tenté de remplacer dans le membre de gauche par les expressions, puis en partant du membre de droite, je n'aboutis à rien de concluant.

D'avance merci pour votre aide.

[MB]

Bonjour, je propose la piste suivante.
$$ \dfrac{\Gamma(\alpha)}{x^{\alpha}} = \int_0^{+\infty} \left( \frac{t}{x} \right)^{\alpha-1} e^{-t} \frac{\mathrm{d}t}{x}$$
On effectue ensuite le changement de variable $u = \frac{t}{x}$.

[James]

Un grand merci !