Bonsoir,
Soit $\alpha \in ]0,1[.$
La fonction $ t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}$ étant intégrable sur $]0, +\infty[,$ on souhaite calculer $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~\mathrm{d}t$
J'ai tenté un changement de variable en posant $t = -\ln s$ ceci nous donne :
$$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~\mathrm{d}t = \displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{(-\ln s)^{\alpha}} ~\mathrm{d}s $$
A ce stade, je ne vois pas comment poursuivre.
A l'aide d'une intégration par parties en écrivant :
$$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~\mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-t} (t^{-\alpha + 1}/(-\alpha + 1))^{\prime}~\mathrm{d}t = 0 - \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{-\alpha + 1}/(-\alpha + 1)~\mathrm{d}t $$
Là encore, je ne vois pas comment aller plus loin.
Auriez-vous des pistes à proposer ?
Je vous en remercie par avance.
Intégrale généralisée
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James
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guiguiche
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Re: Intégrale généralisée
Bonsoir
C'est la fonction $\Gamma$. Ne cherche pas une expression sans intégrale.
C'est la fonction $\Gamma$. Ne cherche pas une expression sans intégrale.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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James
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Re: Intégrale généralisée
Bonjour,
Merci pour ta réponse. Je précise le contexte qui m'a amené à cette question. Je travaille actuellement sur le sujet de concours CCP filière MP posé cette année, il s'agit de l'épreuve maths 1. (le sujet est en pièce jointe)
La question 19 demande de montrer que la fonction $t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}$ est intégrable. Pas de difficulté pour traiter cette question. En revanche j'ai passé du temps sur la seconde partie de la question qui demande d'en déduire :
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t$$
Je me suis demandé s'il n'y avait pas une erreur sur la variable $x$. Elle devrait tendre vers $0$. D'où l'idée de calculer
$$ \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t$$
En traitant la question 21, j'ai réalisé que ce n'était pas une erreur. Faisant echo à la question 19, la fonction
$$f : x \mapsto \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t$$ s'annulant en $+\infty$ est la primitve de $t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}.$ D'après le théorème fondamental, la fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et sa dérivée est donnée par $f^{\prime}(x)= -\dfrac{e^{-x}}{x^{\alpha}}.$ de sorte que si on pose $g_{\alpha}(x) = \Gamma(\alpha)e^x f(x)$ dérivable sur $]0,+\infty[,$ alors $g_{\alpha}$ est solution particulière de l'équation différentielle $$y^{\prime} - y = \frac{\Gamma(\alpha)}{x^{\alpha}} (E)$$
D'autre part, la fonction $f_{\alpha}$ définie pour tout $x > 0$ par :
$$f_{\alpha}(x) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{t^{\alpha+1}}{t+1} e^{-xt} ~ \mathrm{d}t$$ est aussi solution particulière de $(E)$ (c'était l'objet d'un de mes précédents post)
J'ai une autre question :
La seconde partie de la question 21 demande de montrer que pour tout $x>0,$ on a $$f_{\alpha}(x) = g_{\alpha}(x)$$
Il n'est pas suffisant d'affirmer que ces deux fonctions sont égales car solution particulière d'une même équation $E.$ Pour assurer l'unicité il faut montrer qu'on est en présence d'un problème de Cauchy ce qui implique de déterminer une condition initiale. Comment aborderiez vous une telle question ?
Merci.
Merci pour ta réponse. Je précise le contexte qui m'a amené à cette question. Je travaille actuellement sur le sujet de concours CCP filière MP posé cette année, il s'agit de l'épreuve maths 1. (le sujet est en pièce jointe)
La question 19 demande de montrer que la fonction $t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}$ est intégrable. Pas de difficulté pour traiter cette question. En revanche j'ai passé du temps sur la seconde partie de la question qui demande d'en déduire :
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t$$
Je me suis demandé s'il n'y avait pas une erreur sur la variable $x$. Elle devrait tendre vers $0$. D'où l'idée de calculer
$$ \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t$$
En traitant la question 21, j'ai réalisé que ce n'était pas une erreur. Faisant echo à la question 19, la fonction
$$f : x \mapsto \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t$$ s'annulant en $+\infty$ est la primitve de $t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}.$ D'après le théorème fondamental, la fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et sa dérivée est donnée par $f^{\prime}(x)= -\dfrac{e^{-x}}{x^{\alpha}}.$ de sorte que si on pose $g_{\alpha}(x) = \Gamma(\alpha)e^x f(x)$ dérivable sur $]0,+\infty[,$ alors $g_{\alpha}$ est solution particulière de l'équation différentielle $$y^{\prime} - y = \frac{\Gamma(\alpha)}{x^{\alpha}} (E)$$
D'autre part, la fonction $f_{\alpha}$ définie pour tout $x > 0$ par :
$$f_{\alpha}(x) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{t^{\alpha+1}}{t+1} e^{-xt} ~ \mathrm{d}t$$ est aussi solution particulière de $(E)$ (c'était l'objet d'un de mes précédents post)
J'ai une autre question :
La seconde partie de la question 21 demande de montrer que pour tout $x>0,$ on a $$f_{\alpha}(x) = g_{\alpha}(x)$$
Il n'est pas suffisant d'affirmer que ces deux fonctions sont égales car solution particulière d'une même équation $E.$ Pour assurer l'unicité il faut montrer qu'on est en présence d'un problème de Cauchy ce qui implique de déterminer une condition initiale. Comment aborderiez vous une telle question ?
Merci.