Espaces caractéristiques et projecteurs

[James]

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie en somme directe d'espaces caractéristiques. $$E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$$

On considère la famille de projecteurs $p_i$ sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k=j, i \neq j}^{m} N_k$. On suppose que cette famille est un système complet de sorte qu'on puisse écrire : $$E = \text{Im} ~p_1 \oplus \cdots \oplus \text{Im} ~ p_m$$

Je veux montrer que $\text{Im} ~ p_i = N_i$.

J'ai essayé ceci :

Si $x_i \in \text{Im} ~p_i$ alors il existe $x \in E$ tel que $x_i = p_i(x)$. Montrons que $(u(x_i) - \lambda_i x_i)^{\alpha_i}x_i = 0. $ Et là je bloque.

D'avance merci pour votre aide.

[MB]

Bonjour, je ne suis pas certain d'avoir bien saisi ce que vous souhaitez prouver, car le résultat me semble évident.

Si $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$ et si $p_i$ est le projecteur sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k=j, i \neq j}^{m} N_k$, alors $\text{Im} ~ p_i = N_i$, indépendamment du fait que $N_i$ soient des sous-espaces caractéristiques.

[James]

Bonjour,

Merci pour votre retour.

Il s'agit d'une question d'un sujet de coucours. Cela me paraissait évident à moi aussi mais l'intitulé de la question demande de démontrer.

Le sujet en pièce jointe. (CCP maths 2 filière MP 2023, question 12)

Qu'en pensez-vous ?

ccp_mp_2023.pdf

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[MB]

Sauf erreur de ma part, les projecteurs $p_i$ ne sont pas définis comme les projecteurs sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k=j, i \neq j}^{m} N_k$, mais par $p_i = R_i(u) \circ Q_i(u)$.

[James]

Bonjour,

La question 10 permet de préciser la définition des projecteurs donnée en question 9 puisqu'a ce stade on a : $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$.
Alors tout $x \in E$ admet une décomposition unique $x = x_1 + \cdots + x_m$ avec $x_i \in N_i$. On peut affirmer que l'application

$$\begin{array}{rcl}

p_i : E &\to& N_i \\
x = x_1 + \cdots + x_m &\mapsto & x_i
\end{array}$$
est la projection sur $N_i$ et en déduire $\text{Im}~p_i \subset N_i$.

[MB]

Je n'ai pas traité le sujet, mais vous avez donc prouvé que $p_i(x)=x_i$ à l'occasion de la question 10, en utilisant la définition de $p_i$ données dans la question 9 ?

[James]

Bonjour,

Oui, c'est bien ça. Je n'ai pas rencontré de difficulté dans cette question. En revanche la question 11 découle de la question 9 :

En utilisant la seconde propriété dans la question 9, on en déduit $E = E_1 + \cdots + E_m.$ Pour montrer que cette somme est directe, on fait agir $p_i$ sur $0 = x_1 - x^{\prime}_1 + \cdots + x_m - x^{\prime}_m,$ après avoir considéré deux décompositions de $x,$ on a alors $x_i = x^{\prime}_i$ pour tout $i$.

En écrivant ce message il me vient l'idée d'utiliser la dimension pour montrer $\text{Im}~ p_i = N_i$ Peut on déduire de Q10 et Q11 $\dim N_i = \dim \text{Im}~ p_i $ ?

Merci.

[MB]

Je suis un peu étonné car je ne vois pas pourquoi les projecteurs $p_i$ auraient à intervenir dans la question 10. A priori, il s'agit d'une conséquence directe du théorème de Cayley-Hamilton et du lemme des noyaux.

[James]

A priori Q9 et Q10 sont deux questions indépendantes. Qu'entendez vous par

vous avez donc prouvé que $p_i(x)=x_i$ à l'occasion de la question 10, en utilisant la définition de $p_i$ données dans la question 9 ?

En effet, pour montrer que $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$ la définition des $p_i$ donné en Q9 n'intervient pas dans Q10. Il suffit de calculer $E = \ker \chi_{u}(u)$ et la décomposition de $E$ en sous-espaces caractéristiques en découle par le lemme des noyaux.

En revanche, on utilise la définition des $p_i = R_i(u) \circ Q_i(u)$ dans Q11 pour montrer $E = \text{Im}~p_1 \oplus \cdots \oplus \text{Im}~p_m$

Pout être vous ai-je induit en erreur par ma phrase d'introduction "oui c'est bien cela"...

[MB]

En effet, pour montrer que $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$ la définition des $p_i$ donné en Q9 n'intervient pas dans Q10. Il suffit de calculer $E = \ker \chi_{u}(u)$ et la décomposition de $E$ en sous-espaces caractéristiques en découle par le lemme des noyaux.

Donc finalement vous n'avez pas fait intervenir les $p_i$ dans la question 10, ce qui me semble normal. C'est la réponse suivante qui ne me parait pas forcément très claire.

La question 10 permet de préciser la définition des projecteurs donnée en question 9 puisqu'a ce stade on a : $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$.
Alors tout $x \in E$ admet une décomposition unique $x = x_1 + \cdots + x_m$ avec $x_i \in N_i$. On peut affirmer que l'application

$$\begin{array}{rcl}

p_i : E &\to& N_i \\
x = x_1 + \cdots + x_m &\mapsto & x_i
\end{array}$$
est la projection sur $N_i$ et en déduire $\text{Im}~p_i \subset N_i$.

[James]

Il faut montrer que $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$.

Soit $x \in E$ tel que $x = \sum_{i = 1}^{m}x_i, ~x_i \in N_i$. En vertu de Q9 (propriété 2), on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^{m}p_i(x),$ alors $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$ par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$. On peut donc affirmer que l'application $p_i : x \mapsto x_i$ est la projection sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k \neq i}N_k$ et déduire que $\text{Im} ~p_i \subset N_i$.

[MB]

Soit $x \in E$ tel que $x = \sum_{i = 1}^{m}x_i, ~x_i \in N_i.$ En vertu de Q9 (propriété 2), on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^{m}p_i(x),$ alors $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$ par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$.

Par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$ ?

[James]

Oui, puisque $E$ est somme directe des $N_i$ d'après Q10.

[James]

J'ai un doute...

Soit $x \in E.$
D'après Q10, on a :
$$x = x_1 + \cdots + x_m, ~ x_i \in N_i$$
D'après Q11, on peut décomposer ce même $x$ comme suit :
$$x = x^{\prime}_1+ \cdots + x^{\prime}_m, ~x^{\prime}_i \in \text{Im} ~ p_i $$
Par soustraction, il vient :
$$0_{E} = \sum_{i} x_i - x^{\prime}_i$$
Comme $0_{E}$ se décompose de manière unique dans $\bigoplus N_i \overset{Q.10}{=} E \overset{Q.11}{=} \bigoplus \text{Im} ~ p_i $ alors : $x_i = x^{\prime}_i \overset{*}{=} p_i(x)$ pour tout $i$.

Montrons que $N_i = \text{Im} ~ p_i$.

D'après $*$, il est clair que $N_i \subset \text{Im} ~ p_i$ et l'inclusion inverse vient de ce que l'application $p_i : x \mapsto x_i$ est la projection sur $N_i.$ D'où l'égalité des deux sous-espaces.

[MB]

Soit $x \in E$ tel que $x = \sum_{i = 1}^{m}x_i, ~x_i \in N_i.$ En vertu de Q9 (propriété 2), on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^{m}p_i(x),$ alors $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$ par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$.

Pour utiliser cet argument, il faut savoir que $p_i(x) \in N_i$ et donc que $\text{Im} ~ p_i \subset N_i$.

[projetmbc]

A mon humble avis, il manque quelque chose dans l'énoncé, car rien n'est dit sur la décomposition en facteurs premiers du polynôme minimal... Sauf erreur de ma part.

Q12 devrait parler d'une permutation associant une image à un noyau. Il devient alors facile d'avoir :
$$\mathrm{Im} ~ p_i \subset N_{\sigma(i)}$$

Si je me plante, je plaide coupable...

[James]

Pour utiliser cet argument, il faut savoir que $p_i(x) \in N_i$ et donc que $\text{Im} ~ p_i \subset N_i$.

J'avoue être à court d'idée. Auriez-vous une suggestion ?

[James]

Soit $x \in E.$
D'après Q10, on a :
$$x = x_1 + \cdots + x_m, ~ x_i \in N_i$$
D'après Q11, on peut décomposer ce même $x$ comme suit :
$$x = x^{\prime}_1+ \cdots + x^{\prime}_m, ~x^{\prime}_i \in \text{Im} ~ p_i $$
Par soustraction, il vient :
$$0_{E} = \sum_{i} x_i - x^{\prime}_i$$
Comme $0_{E}$ se décompose de manière unique dans $\bigoplus N_i \overset{Q.10}{=} E \overset{Q.11}{=} \bigoplus \text{Im} ~ p_i $ alors : $x_i = x^{\prime}_i \overset{}{=} p_i(x)$ pour tout $i$.

Ci-dessus j'ai tenté de montrer que pour tout $i,$ $x_i = p_i(x).$ Comme $x_i \in N_ i$ et $p_i(x) \in \text{Im} ~ p_i,$ on peut déduire que $N_i = \text{Im} ~ p_i$

Qu'en pensez vous ?

[MB]

Cette justification n'est pas correcte en l'état puisqu'il faudrait déjà s'assurer que $x_i-x_i' \in N_i$ ou que $x_i-x_i' \in \mathrm{Im} ~ p_i$.

[James]

Cette justification n'est pas correcte en l'état puisqu'il faudrait déjà s'assurer que $x_i-x_i' \in N_i$ ou que $x_i-x_i' \in \mathrm{Im} ~ p_i$.

On a pour tout $i,$ $x_i-x_i' = 0$, $N_i$ et $\mathrm{Im} ~ p_i$ étant des sous-espaces vectoriels, on a bien $x_i-x_i' \in N_i.$