Espaces caractéristiques et projecteurs

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie en somme directe d'espaces caractéristiques. $$E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$$

On considère la famille de projecteurs $p_i$ sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k=j, i \neq j}^{m} N_k$. On suppose que cette famille est un système complet de sorte qu'on puisse écrire : $$E = \text{Im} ~p_1 \oplus \cdots \oplus \text{Im} ~ p_m$$

Je veux montrer que $\text{Im} ~ p_i = N_i$.

J'ai essayé ceci :

Si $x_i \in \text{Im} ~p_i$ alors il existe $x \in E$ tel que $x_i = p_i(x)$. Montrons que $(u(x_i) - \lambda_i x_i)^{\alpha_i}x_i = 0. $ Et là je bloque.

D'avance merci pour votre aide.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

Bonjour, je ne suis pas certain d'avoir bien saisi ce que vous souhaitez prouver, car le résultat me semble évident.

Si $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$ et si $p_i$ est le projecteur sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k=j, i \neq j}^{m} N_k$, alors $\text{Im} ~ p_i = N_i$, indépendamment du fait que $N_i$ soient des sous-espaces caractéristiques.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Bonjour,

Merci pour votre retour.

Il s'agit d'une question d'un sujet de coucours. Cela me paraissait évident à moi aussi mais l'intitulé de la question demande de démontrer.

Le sujet en pièce jointe. (CCP maths 2 filière MP 2023, question 12)

Qu'en pensez-vous ?
ccp_mp_2023.pdf
(128.59 Kio) Téléchargé 94 fois
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

Sauf erreur de ma part, les projecteurs $p_i$ ne sont pas définis comme les projecteurs sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k=j, i \neq j}^{m} N_k$, mais par $p_i = R_i(u) \circ Q_i(u)$.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Bonjour,

La question 10 permet de préciser la définition des projecteurs donnée en question 9 puisqu'a ce stade on a : $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$.
Alors tout $x \in E$ admet une décomposition unique $x = x_1 + \cdots + x_m$ avec $x_i \in N_i$. On peut affirmer que l'application

$$\begin{array}{rcl}

p_i : E &\to& N_i \\
x = x_1 + \cdots + x_m &\mapsto & x_i
\end{array}$$
est la projection sur $N_i$ et en déduire $\text{Im}~p_i \subset N_i$.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

Je n'ai pas traité le sujet, mais vous avez donc prouvé que $p_i(x)=x_i$ à l'occasion de la question 10, en utilisant la définition de $p_i$ données dans la question 9 ?
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Bonjour,

Oui, c'est bien ça. Je n'ai pas rencontré de difficulté dans cette question. En revanche la question 11 découle de la question 9 :

En utilisant la seconde propriété dans la question 9, on en déduit $E = E_1 + \cdots + E_m.$ Pour montrer que cette somme est directe, on fait agir $p_i$ sur $0 = x_1 - x^{\prime}_1 + \cdots + x_m - x^{\prime}_m,$ après avoir considéré deux décompositions de $x,$ on a alors $x_i = x^{\prime}_i$ pour tout $i$.

En écrivant ce message il me vient l'idée d'utiliser la dimension pour montrer $\text{Im}~ p_i = N_i$ Peut on déduire de Q10 et Q11 $\dim N_i = \dim \text{Im}~ p_i $ ?

Merci.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

Je suis un peu étonné car je ne vois pas pourquoi les projecteurs $p_i$ auraient à intervenir dans la question 10. A priori, il s'agit d'une conséquence directe du théorème de Cayley-Hamilton et du lemme des noyaux.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

A priori Q9 et Q10 sont deux questions indépendantes. Qu'entendez vous par
MB a écrit : vendredi 09 juin 2023, 19:20 vous avez donc prouvé que $p_i(x)=x_i$ à l'occasion de la question 10, en utilisant la définition de $p_i$ données dans la question 9 ?
En effet, pour montrer que $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$ la définition des $p_i$ donné en Q9 n'intervient pas dans Q10. Il suffit de calculer $E = \ker \chi_{u}(u)$ et la décomposition de $E$ en sous-espaces caractéristiques en découle par le lemme des noyaux.

En revanche, on utilise la définition des $p_i = R_i(u) \circ Q_i(u)$ dans Q11 pour montrer $E = \text{Im}~p_1 \oplus \cdots \oplus \text{Im}~p_m$

Pout être vous ai-je induit en erreur par ma phrase d'introduction "oui c'est bien cela"...
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

James a écrit : dimanche 11 juin 2023, 09:43 En effet, pour montrer que $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$ la définition des $p_i$ donné en Q9 n'intervient pas dans Q10. Il suffit de calculer $E = \ker \chi_{u}(u)$ et la décomposition de $E$ en sous-espaces caractéristiques en découle par le lemme des noyaux.
Donc finalement vous n'avez pas fait intervenir les $p_i$ dans la question 10, ce qui me semble normal. C'est la réponse suivante qui ne me parait pas forcément très claire.
James a écrit : vendredi 09 juin 2023, 13:37 La question 10 permet de préciser la définition des projecteurs donnée en question 9 puisqu'a ce stade on a : $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_m$.
Alors tout $x \in E$ admet une décomposition unique $x = x_1 + \cdots + x_m$ avec $x_i \in N_i$. On peut affirmer que l'application

$$\begin{array}{rcl}

p_i : E &\to& N_i \\
x = x_1 + \cdots + x_m &\mapsto & x_i
\end{array}$$
est la projection sur $N_i$ et en déduire $\text{Im}~p_i \subset N_i$.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Il faut montrer que $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$.

Soit $x \in E$ tel que $x = \sum_{i = 1}^{m}x_i, ~x_i \in N_i$. En vertu de Q9 (propriété 2), on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^{m}p_i(x),$ alors $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$ par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$. On peut donc affirmer que l'application $p_i : x \mapsto x_i$ est la projection sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{k \neq i}N_k$ et déduire que $\text{Im} ~p_i \subset N_i$.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

James a écrit : dimanche 11 juin 2023, 10:49 Soit $x \in E$ tel que $x = \sum_{i = 1}^{m}x_i, ~x_i \in N_i.$ En vertu de Q9 (propriété 2), on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^{m}p_i(x),$ alors $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$ par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$.
Par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$ ?
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Oui, puisque $E$ est somme directe des $N_i$ d'après Q10.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

J'ai un doute...

Soit $x \in E.$
D'après Q10, on a :
$$x = x_1 + \cdots + x_m, ~ x_i \in N_i$$
D'après Q11, on peut décomposer ce même $x$ comme suit :
$$x = x^{\prime}_1+ \cdots + x^{\prime}_m, ~x^{\prime}_i \in \text{Im} ~ p_i $$
Par soustraction, il vient :
$$0_{E} = \sum_{i} x_i - x^{\prime}_i$$
Comme $0_{E}$ se décompose de manière unique dans $\bigoplus N_i \overset{Q.10}{=} E \overset{Q.11}{=} \bigoplus \text{Im} ~ p_i $ alors : $x_i = x^{\prime}_i \overset{*}{=} p_i(x)$ pour tout $i$.

Montrons que $N_i = \text{Im} ~ p_i$.

D'après $*$, il est clair que $N_i \subset \text{Im} ~ p_i$ et l'inclusion inverse vient de ce que l'application $p_i : x \mapsto x_i$ est la projection sur $N_i.$ D'où l'égalité des deux sous-espaces.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

James a écrit : dimanche 11 juin 2023, 10:49 Soit $x \in E$ tel que $x = \sum_{i = 1}^{m}x_i, ~x_i \in N_i.$ En vertu de Q9 (propriété 2), on peut écrire $x = \sum_{i = 1}^{m}p_i(x),$ alors $x_i = p_i(x)$ pour tout $i$ par unicité de la décomposition de $x$ dans $E$.
Pour utiliser cet argument, il faut savoir que $p_i(x) \in N_i$ et donc que $\text{Im} ~ p_i \subset N_i$.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
projetmbc
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2267
Inscription : samedi 29 décembre 2007, 00:58

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par projetmbc »

A mon humble avis, il manque quelque chose dans l'énoncé, car rien n'est dit sur la décomposition en facteurs premiers du polynôme minimal... Sauf erreur de ma part.

Q12 devrait parler d'une permutation associant une image à un noyau. Il devient alors facile d'avoir :
$$\mathrm{Im} ~ p_i \subset N_{\sigma(i)}$$

Si je me plante, je plaide coupable... :lol:
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

MB a écrit : dimanche 11 juin 2023, 20:37 Pour utiliser cet argument, il faut savoir que $p_i(x) \in N_i$ et donc que $\text{Im} ~ p_i \subset N_i$.
J'avoue être à court d'idée. Auriez-vous une suggestion ?
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

James a écrit : dimanche 11 juin 2023, 15:59 Soit $x \in E.$
D'après Q10, on a :
$$x = x_1 + \cdots + x_m, ~ x_i \in N_i$$
D'après Q11, on peut décomposer ce même $x$ comme suit :
$$x = x^{\prime}_1+ \cdots + x^{\prime}_m, ~x^{\prime}_i \in \text{Im} ~ p_i $$
Par soustraction, il vient :
$$0_{E} = \sum_{i} x_i - x^{\prime}_i$$
Comme $0_{E}$ se décompose de manière unique dans $\bigoplus N_i \overset{Q.10}{=} E \overset{Q.11}{=} \bigoplus \text{Im} ~ p_i $ alors : $x_i = x^{\prime}_i \overset{}{=} p_i(x)$ pour tout $i$.
Ci-dessus j'ai tenté de montrer que pour tout $i,$ $x_i = p_i(x).$ Comme $x_i \in N_ i$ et $p_i(x) \in \text{Im} ~ p_i,$ on peut déduire que $N_i = \text{Im} ~ p_i$

Qu'en pensez vous ?
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8070
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

Cette justification n'est pas correcte en l'état puisqu'il faudrait déjà s'assurer que $x_i-x_i' \in N_i$ ou que $x_i-x_i' \in \mathrm{Im} ~ p_i$.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

MB a écrit : dimanche 11 juin 2023, 22:51 Cette justification n'est pas correcte en l'état puisqu'il faudrait déjà s'assurer que $x_i-x_i' \in N_i$ ou que $x_i-x_i' \in \mathrm{Im} ~ p_i$.
On a pour tout $i,$ $x_i-x_i' = 0$, $N_i$ et $\mathrm{Im} ~ p_i$ étant des sous-espaces vectoriels, on a bien $x_i-x_i' \in N_i.$