Espaces caractéristiques et projecteurs

[MB]

Pour utiliser cet argument, il faut savoir que $p_i(x) \in N_i$ et donc que $\text{Im} ~ p_i \subset N_i$.

J'avoue être à court d'idée. Auriez-vous une suggestion ?

Je pense qu'il va falloir montrer que $\operatorname{Im} p_i \subset N_i = \operatorname{Ker} P_i^{\alpha_i}$ en utilisant le fait que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

[MB]

Cette justification n'est pas correcte en l'état puisqu'il faudrait déjà s'assurer que $x_i-x_i' \in N_i$ ou que $x_i-x_i' \in \mathrm{Im} ~ p_i$.

On a pour tout $i,$ $x_i-x_i' = 0$, $N_i$ et $\mathrm{Im} ~ p_i$ étant des sous-espaces vectoriels, on a bien $x_i-x_i' \in N_i.$

Vous affirmez que $x_i-x_i' = 0$ pour tout $i$ en utilisant l'unicité de la décomposition sur la somme directe des $N_i$ ou des $\mathrm{Im} ~ p_i$, mais pour ce faire, il faudra déjà justifier que $x_i-x_i'$ sont bien des éléments de $N_i$ ou de $\mathrm{Im} ~ p_i$.

[MB]

A mon humble avis, il manque quelque chose dans l'énoncé, car rien n'est dit sur la décomposition en facteurs premiers du polynôme minimal... Sauf erreur de ma part.

Je suppose qu'il faut supposer que $N_i = \operatorname{Ker} P_i^{\alpha_i}$.

[projetmbc]

Je suppose que la supposition que tu supposes est la bonne...

[James]

Je pense qu'il va falloir montrer que $\operatorname{Im} p_i \subset N_i = \operatorname{Ker} P_i^{\alpha_i}$ en utilisant le fait que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

Bonjour,

Le polynôme minimal $\pi_u$ divise $(X-\lambda_i)^{\alpha_i}Q_iR_i.$ En évaluant en $u,$ il vient $(u-\lambda_i \mathrm{id})^{\alpha_i} \circ p_i = 0.$ Puis en évaluant en $x,$ on déduit $p_i(x) \in \ker P_{i}^{\alpha_i}(u)$ et donc $$\mathrm{Im} ~ p_i \subset N_i$$

[MB]

Oui, ça me semble correct.

[James]

Bonjour,

Je me suis demandé si on pouvait utiliser un argument de dimension pour montrer l'inclusion inverse.

Si on sait que $\dim N_i = \alpha_i$ et que $\mathrm{Im} ~p_i \subset N_i$ entraîne $\dim \mathrm{Im} ~p_i \leqslant \alpha_i$. En s'appuyant sur Q11, on peut écrire :

$$\sum_{i=1}^{m} \alpha_i = \dim E = \sum_{i=1}^{m} \dim \mathrm{Im} ~p_i$$

Et déduire : $$\alpha_i = \dim \mathrm{Im} ~p_i $$

Qu'en pensez vous ?

[MB]

Oui, ça me semble effectivement judicieux.

[James]

Bonjour,

Je suis bloqué à la question 15. Je n'arrive pas à démontrer que $X = \sum_{i=1}^{m}\frac{Q_i(X)}{Q_i(\lambda_i)}$

J'ai tenté de partir du membre de droite et de réduire mais cela ne donne rien.

D'avance merci.

Le sujet est en pièce jointe.

ccp2023.pdf

ccp2023

(138.93 Kio) Téléchargé 30 fois

[projetmbc]

Evaluer en $\lambda_j$ ...

[James]

$Q_i(\lambda_j) = 0$ si $j \neq i.$ Pour tout $i,$ on a :

$$\sum_{i = 0}^{m} \lambda_i\dfrac{Q_i(\lambda_i)}{Q_i(\lambda_i)}=\lambda_i$$

Merci !