Espaces caractéristiques et projecteurs

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MB
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

James a écrit : dimanche 11 juin 2023, 21:55
MB a écrit : dimanche 11 juin 2023, 20:37 Pour utiliser cet argument, il faut savoir que $p_i(x) \in N_i$ et donc que $\text{Im} ~ p_i \subset N_i$.
J'avoue être à court d'idée. Auriez-vous une suggestion ?
Je pense qu'il va falloir montrer que $\operatorname{Im} p_i \subset N_i = \operatorname{Ker} P_i^{\alpha_i}$ en utilisant le fait que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

James a écrit : dimanche 11 juin 2023, 23:10
MB a écrit : dimanche 11 juin 2023, 22:51 Cette justification n'est pas correcte en l'état puisqu'il faudrait déjà s'assurer que $x_i-x_i' \in N_i$ ou que $x_i-x_i' \in \mathrm{Im} ~ p_i$.
On a pour tout $i,$ $x_i-x_i' = 0$, $N_i$ et $\mathrm{Im} ~ p_i$ étant des sous-espaces vectoriels, on a bien $x_i-x_i' \in N_i.$
Vous affirmez que $x_i-x_i' = 0$ pour tout $i$ en utilisant l'unicité de la décomposition sur la somme directe des $N_i$ ou des $\mathrm{Im} ~ p_i$, mais pour ce faire, il faudra déjà justifier que $x_i-x_i'$ sont bien des éléments de $N_i$ ou de $\mathrm{Im} ~ p_i$.
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par MB »

projetmbc a écrit : dimanche 11 juin 2023, 21:08 A mon humble avis, il manque quelque chose dans l'énoncé, car rien n'est dit sur la décomposition en facteurs premiers du polynôme minimal... Sauf erreur de ma part.
Je suppose qu'il faut supposer que $N_i = \operatorname{Ker} P_i^{\alpha_i}$.
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par projetmbc »

Je suppose que la supposition que tu supposes est la bonne...
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

MB a écrit : dimanche 11 juin 2023, 23:13 Je pense qu'il va falloir montrer que $\operatorname{Im} p_i \subset N_i = \operatorname{Ker} P_i^{\alpha_i}$ en utilisant le fait que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.
Bonjour,

Le polynôme minimal $\pi_u$ divise $(X-\lambda_i)^{\alpha_i}Q_iR_i.$ En évaluant en $u,$ il vient $(u-\lambda_i \mathrm{id})^{\alpha_i} \circ p_i = 0.$ Puis en évaluant en $x,$ on déduit $p_i(x) \in \ker P_{i}^{\alpha_i}(u)$ et donc $$\mathrm{Im} ~ p_i \subset N_i$$
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

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Oui, ça me semble correct.
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Bonjour,

Je me suis demandé si on pouvait utiliser un argument de dimension pour montrer l'inclusion inverse.

Si on sait que $\dim N_i = \alpha_i$ et que $\mathrm{Im} ~p_i \subset N_i$ entraîne $\dim \mathrm{Im} ~p_i \leqslant \alpha_i$. En s'appuyant sur Q11, on peut écrire :

$$\sum_{i=1}^{m} \alpha_i = \dim E = \sum_{i=1}^{m} \dim \mathrm{Im} ~p_i$$

Et déduire : $$\alpha_i = \dim \mathrm{Im} ~p_i $$

Qu'en pensez vous ?
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

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Oui, ça me semble effectivement judicieux.
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

Bonjour,

Je suis bloqué à la question 15. Je n'arrive pas à démontrer que $X = \sum_{i=1}^{m}\frac{Q_i(X)}{Q_i(\lambda_i)}$

J'ai tenté de partir du membre de droite et de réduire mais cela ne donne rien.

D'avance merci.

Le sujet est en pièce jointe.
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

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Evaluer en $\lambda_j$ ...
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Re: Espaces caractéristiques et projecteurs

Message non lu par James »

$Q_i(\lambda_j) = 0$ si $j \neq i.$ Pour tout $i,$ on a :

$$\sum_{i = 0}^{m} \lambda_i\dfrac{Q_i(\lambda_i)}{Q_i(\lambda_i)}=\lambda_i$$

Merci !