Matrices symétriques définies positives

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James
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Matrices symétriques définies positives

Message non lu par James »

Bonjour,

Soit $n$ un entier naturel non nul et $\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_n$ $n+1$ réels. Soit la matrice $A$ de taille $n+1$ définie par :

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & \alpha_1 \\
0 & 1 & \cdots & \alpha_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha
\end{pmatrix}$$

A l'aide d'une récurrence sur $n,$ on peut montrer que $\det(A) = \alpha - \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\alpha_i^2.$ Mais je n'arrive pas à montrer que si $\det(A) > 0,$ alors $A$ est définie positive.

J'ai d'abord tenté d'exhiber une matrice $S$ vérifiant $^tSS = A.$ sans succès.


Considérons $\lambda$ une valeur propre (réelle ici) et $X$ un vecteur propre. Alors, on a $^tXAX = \lambda ^tXX = \lambda \lVert X \rVert $ avec $X \neq 0$ mais $\lambda$ est un réel pouvant être négatif voire nul... je n'arrive pas à faire le lien avec ce qu'il faut montrer et l'hypothèse $\det(A) > 0.$

D'avance merci
guiguiche
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Re: Matrices symétriques définies positives

Message non lu par guiguiche »

Bonjour
La valeur du déterminant a un lien avec les valeurs propres.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Arthur Accroc
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Re: Matrices symétriques définies positives

Message non lu par Arthur Accroc »

$A-I_n$ est de rang au plus $2$, donc $1$ est valeur propre d'ordre de multiplicité au moins $n-1$. Les deux dernières valeurs propres ont une somme égale à $n+\alpha$, un produit dont le signe est celui de $\det(A)$. Si celui-ci est positif, ces valeurs propres sont de même signe, et ne peuvent être négative parce que l'hypothèse impose $\alpha>0$.

SGDG, j'ai pas fait ça depuis un petit moment...
\bye

Arthur Accroc