Dénombrer les familles libres d'un espace vectoriel

[James]

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $K$ son corps de base fini de cardinal $p.$ Par isomorphisme $\# E = p^n.$ Soient $k,n$ deux entiers naturels strictement positifs tels que $k \leqslant n.$ On cherche le nombre de familles libres à $k$ éléments.

On commence par étudier le cas $k=2.$ Pour le choix de $x_1,$ il y $p^n -1$ possibilités puisqu'il doit être non nul, pour $x_2$ il y a $p^n - p$ possibilités car $x_2$ ne doit pas être dans l'espace engendré par $x_1.$ Il y a donc au total $(p^n - 1) \times (p^n - p)$ familles libres à deux éléments dans un espace de dimension $n$. J'ai un doute quant à mon argument pour justifier le produit. Mon argument est le suivant : Le choix de $x_2$ est indépendant de $x_1$. Mais pourtant on impose à $x_2$ de ne pas être dans l'espace engendré par $x_1.$ Donc le choix de $x_2$ est soumis à contrainte. C'est bien que le choix de $x_2$ n'est pas si indépendant que cela. J'ai aussi pensé au lemme du berger mais je ne vois pas comment faire le bien avec la question.

Qu'en pensez vous ?

Merci.

[JCL]

Bonjour,
Il s'agit de dénombrer les $(x_1,x_2,\dots x_k)\in E^k$ tels que $\:x_1 \neq 0,\:\forall i \in [\![2;k]\!],\:\:x_i\notin\text{Vect }(x_1,x_2,\dots x_{i-1}).$
En tenant compte du fait que $\forall i\in[\![1;k]\!],\:\:\#\left(\text{Vect}(x_1,x_2,\dots x_i)\right) =p^{i}, \:$ le cardinal cherché s'avère égal à:$ \:\displaystyle \prod_{i=0}^{k-1} (p^n-p^{i}).$
Cela permet essentiellement de déterminer le nombre de sous-espaces de dimension $k$ contenus dans $E$, qui est ainsi égal à:
$$\displaystyle \binom nk _p =\prod_{i=0}^{k-1}\left(\frac{p^n-p^{i}}{p^k-p^{i}}\right)=\prod_{i=0}^{k-1}\left(\frac{p^{n-i}-1}{p^{k-i}-1}\right)$$

[James]

Merci JCL.