[Geogebra] La transformation Inversion

[Malgame]

Bonjour chers amis et collègues,

Est-il possible d'obtenir avec Geogebra la transformation "Inversion", c'est à dire, étant donnés un point $O$ et un réel $k$ non nul, $M \mapsto M'$ tel que $OM.OM'=k$ (en mesure algébrique).

C'est à dire, faire une macro, comme il y a déjà, disponibles, de quoi faire une rotation, une homothétie, une symétrie...
Puis, par exemple, tracer une parabole et obtenir son inverse.

J'imagine que ça existe, mais je ne sais pas le faire !
Merci d'avance pour toute aide !

[kojak]

Bonjour,

Par étapes, c'est possible :
- tu crées ton curseur k.
- tu crées ton objet parabole ou autre.
- tu places un point A dessus.
- tu construis le point A'=k/A.
- tu utilises la commande lieu(A',A).

Et le tour est joué.
PS : il y a peut être plus rapide.

[Malgame]

Bonjour et merci !
Mais il faut que j'utilise "lieu" d'une manière un peu raffinée.
Je prend un point P d'une courbe f(x)=sin x, à une distance, mettons, de 2 du pôle O.
Si k = 8, l'image P' est sur la droite (OP) à une distance de 4. Ainsi, OP.OP'=8.
Mais quand je fais "lieu <P,P'>", geogebra ne me fait pas l'inverse, il me fait l'homothétique...
Comment écrire que OP'=8/OP ?

[Malgame]

C'est parce que je ne sais pas ce que c'est qu'un "curseur". Où est-ce que j'indique que OP'=k/OP ?

[kojak]

Bonjour

Rapidement voir PJ :

inversion.ggb

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Et également ici.

[projetmbc]

Cette méthode admet ses limites numériques : en faisant des zooms, on obtient des choses rigolotes avec $f(x) = \sin(x^2)$.

[Malgame]

Merci Kojak, et projetmbc.

C'est très intéressant, mais ce n'est pas une inversion.
D'une part, je ne comprend pas ce que tu fais. Est-ce qu'il y a des pages du manuel qui pourraient m'aider ?

Je comprend que dans ton esprit, il s'agit d'une inversion de pôle O (0,0) et de puissance a.
Mais dans une inversion, le pôle, l'objet et l'image sont alignés. Si on regarde sur la droite y=0, ça marche, on a bien OA.OA'=a.
Et pour d'autres points, on a bien OA.OA'=a, mais O, A et A' ne sont pas alignés.
Tu as créé une autre transformation !

Question subsidiaire : comment fait-on pour avoir f(x)=sin(x) entre -\pi et \pi ?
Merci quand même, cela m'ouvre des horizons.

[Malgame]

Je comprends que ça fonctionne en identifiant les points à des nombres complexes.
Dans ce cas, si A = a+ib ; l'inverse de ce point dans une inversion de pole O (0;0) et de puissance k sera le point A' = k(a+ib)/(a²+b²).
Ce qui peut s'écrire A' = k/(a-ib). C'est à dire qu'au lieu de k/A il faut faire d'abord une symétrie d'axe y=0 pour avoir le conjugué de A. ça devrait marcher comme ça...

[kojak]

Tu as créé une autre transformation !

oui et non : c'est bien une inversion, qualifiée également d'inversion complexe.

Toi tu parles de l'inversion "géométrique", paragraphe 2 du même pdf ci dessus.

[Malgame]

C'est vrai, c'est une homographie. Mais je veux rester au niveau lycée (c'est pour un club de maths) et en effet, réaliser une inversion géométrique.
Le problème provient simplement du fait que je ne connais pas bien Geogebra.
Je veux par exemple l'inverse d'une portion de parabole entre -1 et 1 par une inversion de pôle O(0,0) et de puissance 4.
Je saisis :
f:y= x²+4 (comment peut-on limiter le domaine de définition ?)
a=4
A=(1,5)
A'=(0.154,0.77)
lieu1=Lieu(A',A)

Mais là, j'ai "désolé la saisie n'est pas valide".
Je donne un A et un A' mais comment GG pourrait il "savoir" que A' = 4/ (conjugué de A) ? Où est-ce que je l'écris cette formule ?
Merci de ton aide

[Malgame]

Bon, grâce à ton aide et à ce que j'ai trouvé dans le manuel, j'ai compris comment faire un curseur, des lieux, réduire le domaine de définition, etc.
Me reste à trouver comment exprimer le conjugué. Je peux faire A'=k/A mais pas A'=k/(conjugué de A). J'essaie A' = k*A/||A||² ?
Il me suffirait de faire une symétrie de l'objet lieu, mais apparemment, ce n'est pas possible.
Par contre, si je représente une arche de cosinus et le lieu obtenu avec A'=k/A, je peux toujours symétriser l'arche de cosinus et du coup, le lieu obtenu est bien l'inverse d'une arche... de MOINS cosinus...

[kojak]

Bonsoir

Le conjugué existe dans GeoGebra. Il suffit d'écrire A'=1/conjugué(A).
Si tu veux tracer une courbe sur un intervalle tu écris Fonction(x^2,début, fin) par exemple.

Bonne prise en main de GeoGebra.

[Malgame]

Grand merci !

[Malgame]

Par cette méthode, on peut transformer par Inversion les graphes de fonctions définies par une formule.
Mais si je dessine, par exemple, un poisson stylisé, je peux, avec les outils existants obtenir son symétrique par rapport à une droite, je peux le faire tourner, etc. Mais je ne peux pas faire "son inverse" avec la méthode ci-dessus.
Pour cela il faudrait, je pense, échantillonner les points du contour et inverser ces points, suffisamment, nombreux. Un ami me dit que c'est faisable avec Python. Je ne sais pas si c'est faisable avec Geogebra.

[kojak]

Bonjour,

Tout dépend comment tu construis ton poisson. Voir PJ par exemple avec la commande Lieu.

poisson_inverse.ggb

(60.44 Kio) Téléchargé 14 fois

[Malgame]

Bravo ! C'est très joli, en plus !