Continuité de la fonction de Cantor

[YOURI1]

Bonjour,

J'essaie de démontrer la continuité de la fonction de Cantor. Merci de me donner un coup de pouce.


https://www.swisstransfer.com/d/f59cc48 ... 0523305b01

[JCL]

Bonjour,
J'ai cru comprendre que l'espace $E=\{0;1\}^{\N} $ est muni de la distance définie par $\forall x,y\in E,\:\:d(x,y) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{|x_n-y_n|}{2^n},\:$ et que
$g$ est la fonction $E\to \R$ définie par: $\:\:\forall x\in E,\:\:g(x) =\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x_{2n+1}}{2^n}.$

Soit $\varepsilon>0.\:\:$ Choisissons $n \in \N $ tel que $\dfrac 1{2^{n-1}}<\varepsilon.\: $ Notons: $\:\alpha =\dfrac 1{2^{2n}}.\:\:$ Soient $x,y \in E $ tels que $d(x,y)<\alpha.\quad$ Alors:
$\forall k\in [\![0;2n]\!],\: \:x_k=y_k, \:\: |g(x)-g(y) |\leqslant\displaystyle \sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac {|x_{2k+1} -y_{2k+1}|}{2^k}\leqslant \sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac {1}{2^k} =\dfrac 1{2^{n-1}}<\varepsilon.$
Cela assure l'uniforme continuité de $g$ sur $E$.

[YOURI1]

Bonjour,

Pourrais tu me détailler ta réponse.

En te remerciant.

[JCL]

Bonjour,
Il me semble que l'argument montre que la fonction $g$ satisfait bien à la définition de (l'uniforme) continuité et que ma réponse mérite d'être qualifiée de "détaillée".
Afin de m'éviter de te répondre "à côté de la plaque", précise moi clairement le ou les points que tu ne comprends pas.

[YOURI1]

Bonjour JCL,

Merci pour ton aide et comme tu l'as dit ta réponse mérite d'être qualifiée de détaillée.

Bonne journée.

[YOURI1]

rebonjour,

J'ai parlé trop vite car je croyais être arrivé à démontrer l'égalité dan l'intrvalle [0, 2n] mais je n'y arrive pas.
Merci donc pour un nouveau coup de pouce.

[JCL]

Bonjour Youri.
Si $\exists k \in[\![1;2n ]\!] $ tel que $x_k\neq y_k$, alors $|x_k-y_k| =1 $ et $d(x;y)\geqslant \dfrac 1{2^k}\geqslant \dfrac 1{2^{2n}} =\alpha,\:$ et cela contredit $d(x,y)<\alpha.$

[YOURI1]

Bonsoir JCL

Merci beaucoup, tout est vraiment clair maintenant.

Au risque d'abuser de ta gentillesse, comment démontrer les étapes du document que j'ai fourni qui a semble t-il un autre cheminement?

[JCL]

Re,
La seconde des trois inégalités de ton document est manifestement fausse. (orientée dans le mauvais sens)

[YOURI1]

Bonjour JCL.

Je suis admiratif de ta démonstration. Bien que peu compliquée, il s'y trouve une astuce dont je me demande comment tu en as eu l'idée, celle d'avoir observé l'égalité dans l'intervalle $[0 ,2n]$ intervalle qui par ailleurs semble tomber du ciel pour moi humble mortel.

Je sais bien que souvent il faut tâtonner ou comme on dit bricoler pour avoir une démonstration qui ne laisse rien voir de la transpiration et des gouttes de sueur qui ont donné le produit fini comme c'est souvent le cas en mathématiques ou l'on ne sait rien des tâtonnements qui ont conduit à une belle démonstration.

Par ailleurs et quitte à ce que ta modestie dût en souffrir et si cela n'est pas indiscret, es tu un étudiant en mathématiques (alors un grand bravo) ou un professeur de classe préparatoire dans ce cas plutôt familier des questions que j'ai posées ?

Merci.

[JCL]

Bonjour Youri,

Lorsque l'on est confronté à la démonstration d'une proposition mathématique, une démarche souvent féconde consiste à s'efforcer de fabriquer un contre-exemple invalidant la propriété à démontrer. Ainsi, peuvent apparaître les raisons de l'impossibilité de cette construction, qui vont être la clef de la preuve de la proposition.
Dans notre cas, si l'on cherche à prouver que $g$ n'est pas continue en $0$, il s'agit de construire des $x\in E$ arbitrairement proches de $0 $ tels que $|g(x)|> a$ où $a>0$ est un réel fixé à l'avance.
On aperçoit alors l'impossibilité de cette entreprise lorsque l'on observe que si $d(x,0)$ est "petit", alors il y a un grand nombre de premiers termes consécutifs de la suite $x$ qui sont nuls, et cela entraîne une majoration pertinente de $|g(x)| $, que l'on pourra ainsi rendre arbitrairement "petit".
Dès lors, on tient là l'idée principale de la preuve , et remettre les choses à l'endroit pour obtenir un texte fluide (qui peut sembler "miraculeux", mais la quête d'une telle illusion n'est vraiment pas un objectif) est très facile.
J'ajoute que cette heuristique m'a été suggérée par le fait que l'erreur contenue dans ton document, que je ne parvenais pas à contourner, m'a d'abord donné à penser que $g$ n'était pas continue. Ainsi, c'est en cherchant à prouver que $g$ n'était pas continue que j'ai pu établir qu'elle l'était.