[L1] Caractéristique d'un anneau

[Deltapositif]

Bonjour ! Je suis nouveau dans ce forum suite à la cessation du fonctionnement de les-mathematiques.net.
Il y a un passage de mon livre qui a juste aborder le sujet de la caractéristique d'un anneau. Les définitions donné ne me sont pas bien compréhensible. J'ai donc décidé de comprendre en profondeur cette notion de caractéristique d'un anneau.
Par contre il est dit que l'anneau $\mathbb Z$ est de caractéristique $0$, et que $\mathbb Z/ p\mathbb Z$ est de caractéristique $p$ sans démonstration. Une chose que je n'ai pas compris du tout.

1) C'est quoi la caractéristique d'un anneau (définition) ?
2) Comment déterminer la caractéristique d'un anneau quelconque ?
3) Comme un corps est souvent un anneau intègre. Pouvons-nous parler de caractéristique d'un corps ?
4) Est-ce que tout les anneaux admettent des caractéristiques ?


Perso : Étant passionné et très amoureux des maths et ayant pour objectif de résoudre quelques problèmes du millénaire dans l'avenir, j'ai donc décidé de me lancer dans l'autodidacte après un bac C. J'exerce sur des notions de la MPSI d'abord.

Merci d'avance pour vos réponses.

[MB]

Bonjour, voici quelques éléments de réponse rapides.

1) C'est quoi la caractéristique d'un anneau (définition) ?

On considère un anneau unitaire $A$ et on note $f$ le morphisme de $\Z$ dans $A$ défini pour tout $n \in \N^*$ par $f(n)=\underbrace{1_A+ \cdots +1_A}_{\text{$n$ termes}}$.
La caractéristique de $A$ est l'entier naturel $k$ tel que $\ker(f) = k \Z$.

2) Comment déterminer la caractéristique d'un anneau quelconque ?

Difficile à dire.

3) Comme un corps est souvent un anneau intègre. Pouvons-nous parler de caractéristique d'un corps ?

Oui, d'ailleurs un corps est toujours un anneau intègre.

4) Est-ce que tout les anneaux admettent des caractéristiques ?

Puisque $\Z$ est euclidien et donc principal, le noyau de $f$ est un idéal, ce qui assure l'existence de la caractéristique $k$.

Étant passionné et très amoureux des maths et ayant pour objectif de résoudre quelques problèmes du millénaire dans l'avenir, j'ai donc décidé de me lancer dans l'autodidacte après un bac C.

Carrément !

[Deltapositif]

Bonjour !

En fait dans votre définition je vois bien que vous avez utilisé anneau unitaire. Y-a-t-il une différence entre anneau et anneau unitaire ?

Si je comprends bien si $A$ est de caractéristique $k$ non nul et fini ceci revient à dire que son élément neutre est d'ordre fini par contre de caractéristique nulle si et seulement si son élément neutre est d'ordre infini.

[MB]

Il s'agit juste de préciser que la multiplication possède un élément neutre, ce qui n'est pas toujours imposé par la définition d'un anneau.

Et oui, la caractéristique non nulle correspond bien à l'ordre de $1_A$ dans le groupe $(A,+)$.

[Deltapositif]

Il s'agit juste de préciser que la multiplication possède un élément neutre, ce qui n'est pas toujours imposé par la définition d'un anneau.

D'accord ! Sinon je pensais qu'un anneau est censé toujours possédé l'élément unité pour la seconde loi.

En fait un grand merci pour l'aide.

[MB]

Oui c'est généralement admis dans les définitions actuelles.