Soit un segment $[BO]$ de milieu $K$ soit $d_0$ la droite passant par $K$ et non confondue à $(BO)$ soit et $I$ et $J$ deux points distincts et tous distincts de $K$. On désigne par $∆$ et $∆'$ deux droites toutes parallèles à $d_0$ et symétriques à $d_0$. Soit $A$ l'intersection de $(OI)$ avec $∆$ et $N$ celle de $(OJ)$ avec $∆'$. Dans notre hypothèse, les $I$ et $J$ sont tels que $M$ l'intersection de $(BA)$ avec $(OJ)$ et $C$ celle de $(BN)$ avec $OI$ existent Soit $I_1$ le milieu de $[AN]$ et $J_1$ celui de $[MC]$.
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On a:
-lemme1: $I_1$ et $J_1$ sont deux points de $d_0$.
-lemme2: $KI × KJ=KI_1 ×KJ_1$.
-lemme3: si de plus les points $M$, $N$, $C$ et $A$ cocycliques alors $KJ×KI=KO^2$.
-lemme4: de façon réciproque, si $KJ×KI=KO^2$ alors les points $M$, $N$, $C$ et $A$ sont cocycliques.
Depuis je n'ai pas cité Newton mais pourtant déjà $MNCABO$ est un quadrilatère complet et donc $d_0$ est la droite de Newton.
Dans les preuves je vais mentionner Newton.
Méthode de construction de conique à centre.
On se refait à l'hypothèse de départ :
On désigne par $I_0$ et par $J_0$ deux points distincts de $d_0$ et tous distincts de $K$, par $M_0, N_0, A_0$ et $C_0$ les points tels que $A_0$ est l'intersection de $∆$ avec $(OI_0)$, $N_0$ l'intersection de $∆'$ avec $(OJ_0)$, $M_0$ l'intersection de $(BA_0)$ avec $(OJ_0)$ et $C_0$ l'intersection de $(BN_0)$ avec $(OI_0)$.
Ainsi quelque soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $0$; on définit les suites de points suivants :
$I_{n+1}$ est le milieu de $[A_nN_n]$,
$J_{n+1}$ est milieu de $[M_nC_n]$,
$A_{n+1}$ est l'intersection de $(OI_{n+1})$ avec $∆$, $N_{n+1}$ est l'intersection de $∆'$ avec $(OJ_{n+1})$, $M_{n+1}$ est l'intersection de $(BA_{n+1)}$ avec $(OJ_{n+1})$ et $C_{n+1}$ est l'intersection de $(BN_{n+1})$ avec $(OI_{n+1})$.
Les suites de points ($M_n$) et ($C_n$) évoluent suivant deux coniques à centre de centre $K$ et les suites de points $(I_n)$ et $(J_n)$ évoluent sur la droite $d_0$ tels que $$KJ{n+1}×KI{n+1}=KJ_n×KI_n$$.
Cette manière de faire me faire penser à beaucoup d'autres choses.
Preuve de lemme1:
Quand on considère l'hypothèse de départ ; $AMNCBO$ est quadrilatère complet de diagonales $[BO], [AN] et [MC]$.
$K$ est le milieu de $[BO]$, $I_1$ est le meilleu de $[AN]$. $∆$ et $∆'$ sont parallèles et symétriques par rapport à $d_0$ donc $A_0$ et $N_0$ les projections parallèlement à $d_0$ sur $(BO)$ respectives de $A$ et $N$ sont symétriques par rapport à $K$.
Donc $K$ est l'image de $I_1$ par la même projection.
Ainsi $(KI_1)$ est parallèle à $d_0$,
de plus $K$ appartient à $d_0$ donc $I_1$ aussi appartient à $d_0$.
On peut alors dire que $d_0$ est la droite de Newton associée à ce quadrilatère complet soit $J_1$ aussi appartient à $d_0$ puisque $J_1$ est le milieu de $[MC]$ d'où les points $I_1$ et $J_1$ appartiennent à $d_0$.
Voir figue de lemme1