Formes linéaires sur l'espace des matrices carrées

[James]

Bonjour,

Posons $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ l'espace des matrices carrées à coefficients dans le corps $\mathbb{K}$. Je n'arrive pas à voir pourquoi l'application $E \to E^{*}, A \mapsto \text{tr}(A ~\cdot)$ est surjective.

Merci.

[JCL]

Bonjour,
Soit $\Phi: E\to E^* \quad A \mapsto \Phi_A\:\:$ où $\quad \forall X \in E, \:\:\Phi_A(X) =\text{Tr}(AX).$
$\dim E=\dim E^*.\:\:$ Il suffit donc de prouver que $\ker(\Phi) =\{0\}.$
$\forall i,j \in [\![1;n]\!],\: $ notons $E_{ij}$ l'élément de $E$ dont tous les coefficients sont nuls, à l'exception de celui situé ligne $i$ colonne $j$, égal à $1$. Alors:
$\forall A=(a_{ij})_{1\leqslant i, j \leqslant n} \in E,\qquad A \in \ker(\Phi)\iff \Phi_A =0_{E^*} \iff \forall i,j \in [\![1;n]\! ], \:\:\text{Tr}(AE_{ij} )=0 \iff\forall i,j\in[\![1;n]\!], \: a_{ji}=0 \iff A=0.$

[projetmbc]

JCL en a trop dit...