Formes linéaires sur l'espace des matrices carrées

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
James
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : samedi 25 décembre 2021, 19:06
Statut actuel : Étudiant

Formes linéaires sur l'espace des matrices carrées

Message non lu par James »

Bonjour,

Posons $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ l'espace des matrices carrées à coefficients dans le corps $\mathbb{K}$. Je n'arrive pas à voir pourquoi l'application $E \to E^{*}, A \mapsto \text{tr}(A ~\cdot)$ est surjective.

Merci.
JCL
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 26
Inscription : mercredi 30 août 2023, 20:33
Statut actuel : Autre

Re: Formes linéaires sur l'espace des matrices carrées

Message non lu par JCL »

Bonjour,
Soit $\Phi: E\to E^* \quad A \mapsto \Phi_A\:\:$ où $\quad \forall X \in E, \:\:\Phi_A(X) =\text{Tr}(AX).$
$\dim E=\dim E^*.\:\:$ Il suffit donc de prouver que $\ker(\Phi) =\{0\}.$
$\forall i,j \in [\![1;n]\!],\: $ notons $E_{ij}$ l'élément de $E$ dont tous les coefficients sont nuls, à l'exception de celui situé ligne $i$ colonne $j$, égal à $1$. Alors:
$\forall A=(a_{ij})_{1\leqslant i, j \leqslant n} \in E,\qquad A \in \ker(\Phi)\iff \Phi_A =0_{E^*} \iff \forall i,j \in [\![1;n]\! ], \:\:\text{Tr}(AE_{ij} )=0 \iff\forall i,j\in[\![1;n]\!], \: a_{ji}=0 \iff A=0.$
Dernière modification par JCL le jeudi 14 septembre 2023, 11:46, modifié 2 fois.
projetmbc
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2276
Inscription : samedi 29 décembre 2007, 00:58

Re: Formes linéaires sur l'espace des matrices carrées

Message non lu par projetmbc »

JCL en a trop dit... :lol: