Inégalité avec des puissances

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jared
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Inégalité avec des puissances

Message non lu par jared »

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'un peu d'aide pour prouver l'inégalité suivante.

Soit $\alpha>1$ et $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5>0$ des réels tels que
$$
c_1+c_2+c_3 = c_4+c_5
$$
alors je souhaite prouver que
$$
c_1^\alpha + c_2^\alpha+c_3^\alpha\le c_4^\alpha+c_5^\alpha.
$$

Ca me fait un peu penser à une inégalité de convexité mais je sais trop commet m'y prendre...

Je suis preneur de toute idée ;-)
Merci
guiguiche
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Re: Inégalité avec des puissances

Message non lu par guiguiche »

Bonjour

Je n'ai pas réfléchi à la question mais l'étude de la fonction $f \colon (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \mapsto x_4^{\alpha}+ x_5^{\alpha}- x_1^{\alpha}- x_2^{\alpha}- x_3^{\alpha}$ sous la contrainte linéaire $x_4+x_5-x_1-x_2-x_3=0$ ne donnerait-elle pas le résultat ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
jared
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Re: Inégalité avec des puissances

Message non lu par jared »

Merci pour l'idée !

Je suppose que tu parles du théorème des extrema liés, avec les multiplicateurs de Lagrange.

Je vais réfléchir un peu mais à première vue, ça donne que si la restriction de $f$ à la contrainte possède un extremum, alors ça ne peut être que $(0,0,0,0,0)$ (les gradients de $f$ et de la forme linéaire $x\mapsto x_4+x_5-x_1-x_2-x_2$ doivent être colinéaires).

Reste à voir si c'est un max, ce qui n'est pas forcément clair car $f$ n'est pas de classe $C^2$ (car $\alpha>1$) et donc on peut pas regarder la hessienne...
JCL
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Re: Inégalité avec des puissances

Message non lu par JCL »

Bonjour
L' égalité $1+1+6 =3+5$ s'accommode parfaitement des inégalités $\:\:\forall \alpha\geqslant 2, \:\:1^{\alpha}+1^{\alpha}+6^{\alpha}>3^{\alpha}+5^{\alpha}$, qui rendent douteuse la validité de la proposition à établir.

$\forall \alpha>1,\:\forall S>0\:\:\displaystyle \lim_{t\to 0^+}\left( t^{\alpha} + t^{\alpha} +(S-2t)^{\alpha}\right) =S^{\alpha}, \quad \left(\dfrac S2\right) ^{\alpha}+\left(\dfrac S2\right) ^{\alpha}=\dfrac {S^{\alpha}}{2^{\alpha-1}}, \quad S^{\alpha}>\dfrac {S^{\alpha}}{2^{\alpha-1}}$
$$\forall \alpha>1,\:\:\exists a,b,c,d,e>0\text { tels que }a+b+c=d+e, \quad a^{\alpha} +b^{\alpha}+c^{\alpha} >d^{\alpha} + e^{\alpha}.$$
Dernière modification par JCL le dimanche 24 septembre 2023, 17:29, modifié 7 fois.
jared
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Re: Inégalité avec des puissances

Message non lu par jared »

Ah oui en effet je pouvais toujours chercher !

Merci et désolé.