Je reviens sur ce problème, initié par $ \mathbf {MB}$ en mai 2022, et qui a retenu mon attention.
Je suggère et détaille l'argument suivant, qui permet de se convaincre que l'espérance du temps de retour à la case initiale est bien égale à $N.$Bonjour à tous,
En considérant l’expérience aléatoire qui consiste à déplacer un jeton sur les $N$ cases d'un plateau similaire à celui représenté ci-dessous (cas $N=12$), jusqu’à ce qu’il retombe sur sa position initiale, en effectuant à chaque étape un lancer de dé donnant le nombre de cases à parcourir, on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'étapes effectuées.
Une simulation me conduit à conjecturer que $E(X)=N$, mais serait-il possible de valider (ou d'invalider) cette conjecture ?
Soit donc un plateau à $N$ cases et un dé à $k$ faces .
On est ainsi en présence d'une chaîne de Markov dont l'ensemble des états (positions du jeton) est $\mathcal E=\Z/N\Z$ et dont la matrice de transition $P$ est définie par:
$$P\in \mathcal M_N(\R), \:\:P =\dfrac 1k\displaystyle\sum _{s=1}^kJ^s \: \text{ où }\:\forall i,j \in[\![1;N]\!], \:J _{ij}=\begin{cases}1&\text{si }j-i\equiv 1 \mod N\\0&\text{sinon}\end{cases}.\:$$
Soit $ \pi =(1,1,\dots 1) \in \R^N.\quad $Alors $\:\:\pi J =\pi\quad \boxed{\pi P =\pi.\quad(\bigstar)}$
Pour $i,j\in \mathcal E,\:$ on note $T_{ij} $ le temps d'atteinte de l'état $j$ à partir de l'état initial $i$, et $M $ la matrice de $\mathcal M_N(\R) $ définie par $M_{ij} = \mathbb E(T_{ij}).$
$\forall i \in \mathcal E, \:\:M_{ii} =\mathbb E(T_{ii}) =\mathbb E (T)$ où $\mathbb E (T)$ est l'espérance cherchée.
$\forall n \in \N, \:\: X_n $ désigne la variable aléatoire indiquant la position du jeton à l'issue du $n$-ième lancer de dé.$\:(X_n\in\mathcal E.)$
En recourant à ce que l'on nomme parfois "l'analyse du premier pas", avec $\mathbb P(X_1=s\mid X_0=i) = P_{is},\:$ on obtient:
$$\forall i,j \in \mathcal E, \:\:\mathbb E(T_{ij})= \displaystyle\sum_{s\in \mathcal E}P_{is}\:\mathbb E(T_{ij}|X_1=s)= P_{ij} +\sum_{s\neq j}P_{is}\:\left(1+\mathbb E(T_{sj})\right), \quad M_{ij} =1+\left(\sum_{s\in \mathcal E} P_{is}M_{sj}\right)-P_{ij}M_{jj}, $$
ce qui, en notant $U$ la matrice de $\mathcal M_N(\R)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$, s'écrit:$\quad\boxed{ M =U +PM- \mathbb E(T)P.}$
et entraîne, en multipliant à gauche par $\pi, \quad\pi M\overset{(\bigstar)}=\pi U+ \pi M- \mathbb E(T)\pi,\quad N\pi =\mathbb E(T) \pi, \quad \boxed{ \mathbb E(T)=N.}$