Racines complexes d'une équation et zéros non triviaux de la fonction zêta

[JRManda]

Bonjour à tous,

Existe-t-il une relation entre les racines dans $\mathbb{C}$ de l'équation $x^{n}=(1-x)^{n}$ et les zéros non triviaux de la fonction $\zeta$ de Riemann ?
Si oui, laquelle ?

[JCL]

Bonjour,
L'hypothèse de Riemman équivaut à affirmer que les zéros non triviaux de $\zeta$ et ceux de $X^n-(1-X)^n$ sont tous alignés sur la même droite$\:\Re(z)= \dfrac 12.$
Je ne sais pas trop si cette observation constitue la "relation" demandée.

[JRManda]

Bonjour,
Justement il s'agit de cette relation. Ce qui amène à se poser la question qui suit :
Existe-t-il des valeurs de l'entier $n$ pour lesquelles les racines (ou tout au moins certaines racines) de l'équation $X^{n}-\left(1-X\right)^{n}=0$ sont aussi des zéros non triviaux de la fonction $\zeta$ ?