Fonctions réelles et primitives

[JRManda]

Soit $f$ une fonction réelle définie et continue sur $\mathcal{D}$ égal à $\mathbb{R}$ ou une réunion d'intervalles réels ouverts. On désigne par $F$, une primitive de $f$ sur $\mathcal{D}$. Considérons ensuite $a$ et $b$ appartenant à $\mathcal{D}$.

1. Donner les conditions sous lesquelles on a $\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$.
2. On prend $f$ la fonction réelle définie par $f(x)=\frac{1}{1+\cos^{2}x}$.
   1. Vérifier que $F(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tan x\right)$ est une primitive de $f(x)$.
   2. Pour $a=0$ et $b=\pi$, montrer que $\int_{0}^{\pi} f(x)\mathrm{d}x\ne F(\pi)-F(0)$. Justifier ce résultat.

[projetmbc]

Bonjour ? Que souhaitez-vous ?

[JRManda]

Bonjour,

Un corrigé de l'exercice ou tout au moins des indications pour répondre aux différentes questions.

[kojak]

Bonjour,
Dans votre profil, il est indiqué Enseignant. Est-ce bien le cas ? Car là, je peux me permettre d'avoir quelques doutes.
Ici, on ne vous donnera pas un corrigé tout cuit.

[JRManda]

Bonjour,

Je comprends, mais ce que je vise ici, c'est d'améliorer le corrigé que moi-même je propose, par échange d'approches et d'idées.
Je n'ai pas publié mon corrigé de suite pour ne pas influencer le regard des autres sur le sujet.

Merci pour votre compréhension.

[projetmbc]

Dans ce cas, proposez votre corrigé, et l'on vous dira ce que l'on en pense.

[kojak]

Dans ce cas, proposez votre corrigé, et l'on vous dira ce que l'on en pense.

+1

[JRManda]

Corrigé

1. Les conditions sous lesquelles on a $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$ sont les suivantes :
   • Si la fonction $f$ n'est pas périodique, alors ses primitives ne seront pas aussi périodiques. Et dans ce cas, il faut que les réels $a$ et $b$ prennent leurs valeurs dans un même intervalle (y compris les valeurs des bornes de cet intervalle). Rappelons que l'ensemble $\mathbb{R}$ des réels est aussi un intervalle ; $\mathbb{R}=]-\infty; \hspace{3pt}+\infty[$.
     Exemple. Considérons la fonction $f$, définie par $f(x)=\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}$. Elle est définie est continue sur $\mathcal{D}=]-\infty; \hspace{3pt}-1[\cup ]-1; \hspace{3pt}+\infty[=I_{1}\cup I_{2}$. Une de ses primitives est la fonction $F$ définie par $F(x)=\ln |x^{3}+1|$. Si on prend $a=2$ et $b=3$, comme $a$ et $b$ appartiennent tous les deux à l'intervalle $I_{2}= ]-1; \hspace{3pt}+\infty[$, on a donc $\int_{2}^{3}f(x)\mathrm{d}x=F(3)-F(2)$ c'est-à-dire $\int_{2}^{3}\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}\mathrm{d}x=\ln \left(3^{3}+1\right)-\ln \left(2^{3}+1\right)=\ln \left(\frac{28}{9}\right)$. Mais si on prend $a=-2$ et $b=1$, alors $\int_{-2}^{1}f(x)\mathrm{d}x\ne F(1)-F(-2)$, car $a=-2$ est dans $I_{1}=]-\infty; \hspace{3pt}-1[$ tandis que $b=1$ est dans $I_{2}=]-1; \hspace{3pt}+\infty[$.
   • Si la fonction $f$ est périodique de période $T$, alors il en est de même que ses primitives qui seront aussi périodiques de période $T$. Mais les fonctions $f$ et $F$ peuvent ne pas être construites avec les mêmes fonctions périodiques de base. Ainsi donc, si on ramène $f$ à un intervalle d'étude d'amplitude $T$, par exemple $I_{f}=]0; \hspace{3pt}T[$, la primitive peut aussi se ramener à un intervalle d'étude $I_{F}=]A; \hspace{3pt}B[$ d'amplitude $T$, pas nécessairement de mêmes bornes que $I_{f}=]0; \hspace{3pt}T[$. On a donc $B-A=T$, ou encore $B=A+T$, ce qui donne $I_{F}=]A; \hspace{3pt}A+T[$. Dans ce cas, il faut que les réels $a$ et $b$ prennent leurs valeurs dans l'intervalle $I_{f\land F}=]0; \hspace{3pt}T[\cap ]A; \hspace{3pt}A+T[$ (y compris les valeurs des bornes de cet intervalle). Notons que nous pouvons toujours choisir $A$ de telle sorte que l'intervalle $I_{f\land F}$ ne soit pas vide. Un exemple de ce cas où $f$ est une fonction périodique est donné par la question n°2 qui suit.
2. Considérons maintenant la fonction $f$ telle que $\forall x\in \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{1+\cos^{2} x}$.
   1. Vérifions que $F(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tan x\right)$ est une primitive de $f(x)$, pour cela, on va établir que $F'(x)=f(x)$.
      On a donc $F'(x)=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(1+\tan^{2} x\right)\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{2}\tan^{2} x}$.
      En tenant compte de $\tan^{2} x=\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}$ et $\left(1+\tan^{2} x\right)=\frac{1}{\cos^{2} x}$, on aboutit a :
      $F'(x)=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2\cos^{2}x +\sin^{2} x}=\frac{1}{1+\cos^{2} x}$, puisque $\cos^{2}x +\sin^{2} x=1$. Et on retrouve : $F'(x)=\frac{1}{1+\cos^{2} x}=f(x)$.
   2. Pour $a=0$ et $b=\pi$, montrons que $\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x\ne F(\pi)-F(0)$. En effet, la fonction $f(x)=\frac{1}{1+\cos^{2} x}$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$. Par conséquent l'intégrale $\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x$ est strictement positive, cest-à-dire $\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x >0$.
      Or $F(\pi)-F(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tan \pi\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tan 0\right)=0-0=0$, d'où on a $\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x\ne \left(F(\pi)-F(0)\right)=0$.
      
      Justification du résultat. En effet la fonction $f(x)=\frac{1}{1+\cos^{2} x}$ est périodique de période $T=\pi$. Par conséquent son intervalle d'étude considéré ici à travers les bornes de l'intégrale est $I_{f}=]0; \hspace{3pt}\pi[$. De son côté, la fonction $F(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tan x\right)$ est aussi périodique de période $T=\pi$ induite par la fonction $\tan (x)$ et donc, le domaine d'étude $I_{F}=]-\frac{\pi}{2}; \hspace{3pt} +\frac{\pi}{2}[$. On en déduit que $I_{f\land F}=]0; \hspace{3pt}\pi[\cap ]-\frac{\pi}{2}; \hspace{3pt} +\frac{\pi}{2}[$ et donc $I_{f\land F}=]0; \hspace{3pt} +\frac{\pi}{2}[$. Et la borne $b=\pi$ de l'intégrale n'est ni un élément, ni une valeur de borne de l'intervalle $I_{f\land F}=]0; \hspace{3pt} +\frac{\pi}{2}[$.

Remarque. On a l'égalité $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$ si on prenait $a=0$ et $b=\frac{+\pi}{2}$, ou si on prenait le domaine d'étude $I_{f}=]-\frac{\pi}{2}; \hspace{3pt}+\frac{\pi}{2}[$. Dans ces deux cas, on aura donc $\int_{0}^{+\frac{\pi}{2}}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to +\frac{\pi}{2}} F(x)-F(0)=\frac{\pi \sqrt{2}}{4}$ et $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}f(x)\mathrm{d}x=2\int_{0}^{+\frac{\pi}{2}}f(x)\mathrm{d}x=2 \left(\lim\limits_{x\to +\frac{\pi}{2}} F(x)-F(0)\right)=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$.

[kojak]

Bonjour

Ce raisonnement me parait bien alambiqué.
Pour la 1) la condition impérative est de dire que la fonction $f$ est continue sur le fermé $[a,b]$ et c'est tout. Pas besoin de faire tout ce baratin qui perd plutôt tout le monde.

Et donc pour l'exemple que tu as choisi avec ta primitive $F$, cette primitive $F$ n'est tout bonnement pas continue sur $[0,\pi]$ donc c'est réglé.

PS : c'est pour quel niveau ceci ?

[JRManda]

Je vous concède le raisonnement alambiqué. Personne ne détient le monopole du savoir irréprochable, à mon humble avis.

Merci pour votre contribution.

JRManda

[JRManda]

Je pense aussi que par prolongement, "ma" primitive $F(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tan x\right)$ est continue sur tout $\mathbb{R}$, contrairement à l'idée qu'elle ne soit pas continue sur $[0; \pi]$.

JRManda

[kojak]

Je pense aussi que par prolongement, "ma" primitive $F(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tan x\right)$ est continue sur tout $\mathbb{R}$,

Euh, pardon ? que vaut la limite de $F$ à gauche et à droite de $\dfrac{\pi}{2}$ ? Est-ce la même limite ?
Éventuellement trace la courbe représentative avec GeoGebra. Ou alors, on n'a pas la même définition de continuité...

[JRManda]

D'accord je vois, vous avez raison.