J'ai écris quelques exemples, dites moi ce que vous en pensez svp, ou si vous avez des choses à ajouter ou corriger merci.
1. Montrer que les ensembles suivants sont des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels (on précisera le corps $\mathbb{K}$ à chaque fois) :
- $\mathbb{R}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels;
- $\mathbb{R}_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$;
- $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes;
- $\mathbb{C}_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à $n$;
- L'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles;
- L'ensemble $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ des fonctions de la variable réelle;
1.i. Ex: $P(X)=3 X^4$ Coefficient réel, je pourrai écrire $\sqrt{2} x^4$
De manie $-3 X^4-2 X^3+6 X^2+5 X+1$ aussi $P(X)=a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{2} X^2+a_1 X+a_0$.
Peut-on écrire $P(X)$ autrement? $a X^n+b X^{n-1} \ldots$ ?
1.ii. Exemple si on choisi $n=4$.
$$ R_4[x]=a_4 X^4+a_3 X^3+a_2 X^2+a_1 X+a_0 $$
avec $a_4 ; a_3$.... qui peuvent-être égale à 0.
1.iii. $P(X)=-i X^3+3 i X^2-2 i \sqrt{5} X-7 i$ (Exemple).
Le cas général (formule) je ne sais pas.
1.v. Autre façon d'écrire $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?
Cet ensemble comprend ces suites par exemple: $2^n=U_n$;
$$V_n=(-3)^n \ldots$$
Mais pas la suite $W_n=(-4 i)^n$.
1.vi.
$$ \begin{aligned}
f(x) & =2 x+1 \\
f(x, y) & =6 x-3 y
\end{aligned} $$
1.vii. J'ai pas beaucoup d'exemple.
