[M1] Les ensembles de fonctions

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Paul3784
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[M1] Les ensembles de fonctions

Message non lu par Paul3784 »

Bonjour j'envoi ce message parce que je suis en M1 maths pour l'enseignement et je souhaiterai mieux comprendre les ensembles de cet exo (le corrigé n'est pas une priorité pour moi, il est niveau licence peut être).
J'ai écris quelques exemples, dites moi ce que vous en pensez svp, ou si vous avez des choses à ajouter ou corriger merci.
1. Montrer que les ensembles suivants sont des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels (on précisera le corps $\mathbb{K}$ à chaque fois) :
  1. $\mathbb{R}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels;
  2. $\mathbb{R}_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$;
  3. $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes;
  4. $\mathbb{C}_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à $n$;
  5. L'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles;
  6. L'ensemble $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ des fonctions de la variable réelle;

1.i. Ex: $P(X)=3 X^4$ Coefficient réel, je pourrai écrire $\sqrt{2} x^4$
De manie $-3 X^4-2 X^3+6 X^2+5 X+1$ aussi $P(X)=a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{2} X^2+a_1 X+a_0$.

Peut-on écrire $P(X)$ autrement? $a X^n+b X^{n-1} \ldots$ ?

1.ii. Exemple si on choisi $n=4$.
$$ R_4[x]=a_4 X^4+a_3 X^3+a_2 X^2+a_1 X+a_0 $$
avec $a_4 ; a_3$.... qui peuvent-être égale à 0.

1.iii. $P(X)=-i X^3+3 i X^2-2 i \sqrt{5} X-7 i$ (Exemple).

Le cas général (formule) je ne sais pas.

1.v. Autre façon d'écrire $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?

Cet ensemble comprend ces suites par exemple: $2^n=U_n$;
$$V_n=(-3)^n \ldots$$
Mais pas la suite $W_n=(-4 i)^n$.

1.vi.

$$ \begin{aligned}
f(x) & =2 x+1 \\
f(x, y) & =6 x-3 y
\end{aligned} $$

1.vii. J'ai pas beaucoup d'exemple.
guiguiche
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Re: Les ensembles de fonctions

Message non lu par guiguiche »

Je n'ai pas bien compris ce que tu attends :
1) c'est un exercice que l'on te donne et tu cherches à le faire ?
2) c'est un exercice que tu as créé et tu attends quoi exactement de nous ?
3) je ne comprends bien ce que tu cherches à mieux comprendre sur les ensembles d'autant que tu parles beaucoup d'espaces vectoriels (d'ailleurs certains sont davantage à considérer comme des sous-espaces de certains autres).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Paul3784
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Re: Les ensembles de fonctions

Message non lu par Paul3784 »

guiguiche a écrit : vendredi 22 décembre 2023, 22:16 Je n'ai pas bien compris ce que tu attends :
1) c'est un exercice que l'on te donne et tu cherches à le faire ?
2) c'est un exercice que tu as créé et tu attends quoi exactement de nous ?
3) je ne comprends bien ce que tu cherches à mieux comprendre sur les ensembles d'autant que tu parles beaucoup d'espaces vectoriels (d'ailleurs certains sont davantage à considérer comme des sous-espaces de certains autres).
Salut mon message en latex ne s'est pas bien affiché, en fait dans l'exercice qu'on m'a donné , ils parlent de différents ensemble, mais moi je connais les ensembles classique R, Z...pas les ensembles cités dans l'exo, c'est pour ça que j''essayais de voir concrètement à quoi ces ensembles correspondent.
Je m'y suis sans doute mal pris, mais je voulais savoir si quelqu'un savais écrire ses ensembles autrement. Exemple pour l'ensemble Z au collège je crois, on sais que c'est ...-5,-4...0,1,....4,5 je voulais voir ces ensembles autrement car dans l'exo, ce n'est pas très parlant je trouve.
kojak
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Re: Les ensembles de fonctions

Message non lu par kojak »

Bonjour,
Avant ton M1 Maths pour l’enseignement, tu as fait quoi comme L3 ?
Car tous les "ensembles" nommés sont des grands classiques, il me semble.
A suivre.
Pas d'aide par MP.
MB
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Re: [M1] Les ensembles de fonctions

Message non lu par MB »

Juste en passant, la fonction définie par $f(x,y)=6x-3y$ n'appartient pas à $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ mais plutôt à $\mathcal{F}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
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Re: [M1] Les ensembles de fonctions

Message non lu par guiguiche »

Pour ta question 1, un polynôme se note plus généralement en indexant les coefficients de manière identique au degré du monôme correspondant : \[P(X)=\sum_{k=0}^{n}{a_kX^k}=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\]
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Paul3784
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Re: Les ensembles de fonctions

Message non lu par Paul3784 »

kojak a écrit : dimanche 24 décembre 2023, 16:16 Bonjour,
Avant ton M1 Maths pour l’enseignement, tu as fait quoi comme L3 ?
Car tous les "ensembles" nommés sont des grands classiques, il me semble.
A suivre.
Bonjour j'ai fais une L3 physique en fait ta question est légitime en effet.
Paul3784
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Re: [M1] Les ensembles de fonctions

Message non lu par Paul3784 »

MB a écrit : dimanche 24 décembre 2023, 16:41 Juste en passant, la fonction définie par $f(x,y)=6x-3y$ n'appartient pas à $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ mais plutôt à $\mathcal{F}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$.
Ah oui oups. Merci beaucoup et bonne fête !!!
Paul3784
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Re: [M1] Les ensembles de fonctions

Message non lu par Paul3784 »

guiguiche a écrit : lundi 25 décembre 2023, 09:49 Pour ta question 1, un polynôme se note plus généralement en indexant les coefficients de manière identique au degré du monôme correspondant : \[P(X)=\sum_{k=0}^{n}{a_kX^k}=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\]
Merci, bonne fête à vous!