Petit théorème de fermat congruence

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
Paul3784
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 16
Inscription : jeudi 14 décembre 2023, 16:41
Statut actuel : Étudiant

Petit théorème de fermat congruence

Message non lu par Paul3784 »

Bonjour j’envoie ce message pour savoir si quelqu’un pourrai corriger cet exo svp?
1/ On choisit ici un entier $n$ pair, et non nul, et on note $p$ un nombre premier qui divise $n^2+1$.
a. Montrer que $n^2+1$ est impair, et qu'on peut écrire $p$ sous la forme $p=4k+1$ ou $p=4k+3$ pour un entier $k$.
b. Montrer que $p$ et $n$ sont premiers entre eux, puis les congruences $n^2 \equiv-1 \bmod p$ et $n^4 \equiv 1 \bmod p$.
c. Montrer qu'on a $n^{p-1} \equiv 1 \bmod p$.
Et voici mes réponses:

1) $n$ est pair donc
a) $n$ est de la forme $n=2k'$ ou $n=4k$; $n$ est un multiple de 2. $k'$ est un entier relatif.
$$n^2+1=\left(2 k'\right)^2+1=4 k'^2+1 \quad\text {(impair).}$$
Soit $k$ un entier relatif tel que $k=k' \times k' =k'^2$. Alors $n^2+1=4 k+1=p$.
Puis on sait que lors d'une division d'un nombre par 4 les différents reste possibles sont 0,1, 2 et 3.
Ici $p$ étant impair les 2 restes possibles sont 1 et 3. d'où $4k+1$ ou $4k+3$.

b) $p$ est premier et impair et $n$ est pair par conséquent $p$ ne divise pas $n$.
Et si $p$ ne divise pas $n$, alors $\pgcd(n,p)=1$.
Ensuite on sait que $p \mid n^2+1$ ($p$ divise $n^2+1$) donc $n^2+1=m p$ (m est un coefficient, $m \in \mathbb{Z}$) ou $n^2 \equiv-1[p]$.

c) Petit théorème de Fermat.
Pour la question c) c'est du cours je crois.
Dernière modification par MB le jeudi 28 décembre 2023, 10:21, modifié 1 fois.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8060
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Petit théorème de fermat congruence

Message non lu par MB »

Paul3784 a écrit : mercredi 27 décembre 2023, 19:10 a) $n$ est de la forme $n=2k'$ ou $n=4k$; $n$ est un multiple de 2. $k'$ est un entier relatif.
$$n^2+1=\left(2 k'\right)^2+1=4 k'^2+1 \quad\text {(impair).}$$
Je ne vois pas trop l'intérêt de distinguer $n=2k'$ et $n=4k$.
Si $n$ est pair, alors $n=2k$ avec $k \in \Z$ et donc $n^2+1=4k^2+1$ est bien impair.
Paul3784 a écrit : mercredi 27 décembre 2023, 19:10 Soit $k$ un entier relatif tel que $k=k' \times k' =k'^2$. Alors $n^2+1=4 k+1=p$.
Je ne comprends pas vraiment ce qui est fait.
Si $p$ est un nombre premier qui divise $n^2+1$, alors $p$ est nécessairement impair puisque $n^2+1$ n'est pas divisible par 2. On a donc bien $p=4k+1$ ou $p=4k+3$.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.