Nombre de Mersenne

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Paul3784
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Nombre de Mersenne

Message non lu par Paul3784 »

Bonjour à tous j'envoi ce message car je n'ai pas compris une partie du corrigé, si quelqu'un pouvait éclaircir ce la pour moi svp?

Exo:
NOMBRES DE MERSENNE
a. Soit $a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que :
$$
a^n-1=(a-1) \times\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right) \text {. }
$$
b. Soit $n$ et $a$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 . Démontrer que si $a^n-1$ est premier, alors $a=2$ et $n$ est premier.
c. On appelle nombre de Mersenne, tout nombre de la forme $2^p-1$ avec $p$ premier, on le note $M_p$.
Les nombres $M_2, M_3, M_5, M_7, M_{11}$ sont-ils premiers?

Corrigé
1a) On reconnait la suite géométrique de raison a.
a^n-1 =(a-1)(a^n-1 + ....+a+1)

b. Soit $a \in \mathbb{N}, a \geqslant 2$ et $n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2$. On a $a-1 \geqslant 1$. Or :
$$
a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1\right) \text { et } 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}>1
$$

Donc si $a^n-1$ est premier, $a-1=1$, donc $a=2$.(je j'ai pas compris comment on est passé de l'inégalité
a-1>=1 au a=2 , on a a^n-1>1 ok mais ce n'est pas non plus une égalité
Si $n$ n'est pas premier, $n=p q$, avec $p \in \mathbb{N}^*, q \in \mathbb{N}^*$ et :
$$
2^{p q}-1=\left(2^p\right)^q-1=\left(2^p-1\right)\left[\left(2^p\right)^{q-1}+\ldots+2^p+1\right] .
$$

Puisque $p>1$ et $q>1$, alors $2^p-1>1$ et $\left(2^p\right)^{q-1}+\ldots+2^p+1>1$; donc $2^n-1$ n'est pas premier.
Donc, si $a^n-1$ est premier, alors $a=2$ et $\boldsymbol{n}$ est premier.
c. $M_2=3, M_3=7, M_5=31, M_7=127$ sont premiers, $M_{11}=2047=23 \times 89$ est composé.
- Les nombres de Mersenne participent à la recherche des nombres premiers:
le plus récent et le plus grand des nombres premiers connus (en 2018) est $M_{82589933}$ (plus de 24 millions de chiffres).
guiguiche
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Re: Nombre de Mersenne

Message non lu par guiguiche »

Bonjour

Un nombre premier qui aurait un diviseur plus petit que lui-même et non égal à 1 aurait un problème.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Cejay
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Re: Nombre de Mersenne

Message non lu par Cejay »

Bonjour,

Cela me rappelle les concepts fondamentaux que j'ai étudiés lors de mon CAP en mathématiques. Les nombres premiers sont au cœur de nombreux domaines des mathématiques et de l'informatique, et leur étude peut parfois révéler des propriétés surprenantes et fascinantes.