Une régularité dans la répartition des nombres premiers

[rafik78ab]

Salut,

J'ai remarqué que lorsqu'on additionne le nombre 6 pour les nombres premiers 5 et 7, on aura une régularité dans la répartition des nombres premiers.

Exemple 5+6=11 qui est un nombre premier, 11+6=17 qui est aussi un nombre premier, 17+6=23, 23+6=29, 29+6=35, qui est un nombre composé et un multiple de 5 continuant 35+6=41, qui est un nombre premier, 41+6=47, 47+6=53, 53+6=59, 59+6=65, qui est un nombre composé et un multiple de 5 continuant 65+6=71, qui est aussi un nombre premier ainsi de suite.

Pour le 7 aussi.

Exemple 7+6=13, qui est aussi un nombre premier, 13+6=19, 19+6=25, qui est un nombre composé et un multiple de 5, 25+6=31 qui est aussi un nombre premier 31+6=37, qui est aussi un nombre premier 37+6=43, 43+6=49 qui est un nombre composé et un multiple de 7, 49+6=55 qui est un nombre composé et un multiple de 5, 55+6=61 qui est aussi un nombre premier 61+6=67, 67+6=73, 73+6=79, 79+6=85 qui est un nombre composé et un multiple de 5, 85+6=91 qui est un nombre composé et un multiple de 7, 91+6=97 qui est aussi un nombre premier 97+6=103 ainsi de suite.

Avec cette formule j'ai trouvé tous les nombres premiers supérieurs à 5 jusque a 1000 et je suppose que les trouvera tous. Je vois que tout nombre premier supérieur a 5 a pour origine soit le nombre 5 ou le nombre 7 plus une série du nombre 6. J'ai même vérifié pour les grands nombres premiers comme 9 576 890 767 qui est un nombre premier, car si on soustrait le nombre 7 on aura 9 576 890 760 qui est divisible par 6 donc 9 576 890 767 un nombre premier qui a pour origine le nombre 7 plus une série de 6 ou encore le nombre 1 000 037 si on soustrait le nombre 5 on aura 1 000 032 qui est divisible par 6 donc 1 000 037 qui a pour origine le nombre 5 plus une série de 6.

C'est pour cela que l'on trouve toujours entre deux nombres premiers jumeaux un nombre multiple de 6 comme 18 entre 17 et 19 ou 12 entre 11 et 13 ou encore 42 entre 41 et 43 aussi 1998 entre 1997 et 1999.

Donc ma conclusion est la suivante. Tout nombre premier et composer soit par un 5 plus une série de 6 soit par un 7 plus une série de 6.

J'aimerais bien avoir l'avis d'un mathématicien sur ce que je viens de remarquer. J'attends vos messages, merci.

[MB]

Bonjour, si j'ai bien compris votre message, cette observation n'a rien de très surprenant.

En effet, en considérant un entier naturel $n$ et en effectuant la division euclidienne de $n$ par 6, on obtient les possibilités suivantes.

• $n=6k$, qui est multiple de 6 et donc pas premier.
• $n=6k+1$.
• $n=6k+2$, qui est multiple de 2 et donc pas premier, à part $n=2$.
• $n=6k+3$, qui est multiple de 3 et donc pas premier, à part $n=3$.
• $n=6k+4$, qui est multiple de 2 et donc pas premier.
• $n=6k+5$.

Ainsi, un nombre premier est soit de la forme $n=6k+1$, soit de la forme $n=6k+5$. Le cas $n=6k+7$ que vous évoquez se ramenant au cas $n=6k+1$.

[rafik78ab]

Ce que je veux dire est que tout les nombres premiers ont une base soit un 5 soit un 7 plus une serie d'addition de 6.

5+6=11+6=17+6=23 ... etc
ou bien 7+6=13+6=19+6=25+6=31 ... etc

Avec cette formule on aura tous les nombres premiers.

[MB]

Oui, c'est bien ce que j'avais compris et je confirme que ça n'a rien de très original.

[rafik78ab]

Donc si $p$ et $q$ deux nombres premiers jumeaux alors $p$ doit être $6k+1$ et $q$ doit être $6k+5$.

Exemple 11et 13, deux nombres premiers jumeaux $11=6k+5$ et $13=6k+1$ deux nombres premiers jumeaux ne peuvent pas être tout les deux $6k+5$ ou $6k+1$.

Je veux avoir votre avis sur mon raisonnement s'il vous plaît.

[MB]

Donc si $p$ et $q$ deux nombres premiers jumeaux alors $p$ doit être $6k+1$ et $q$ doit être $6k+5$.

Si $p=6k+1$ et $q=6k+5$, alors $q-p=4$, donc $p$ et $q$ ne sont pas jumeaux. Il ne faut donc pas prendre la même valeur de $k$ pour $p$ et $q$.
Si $p$ et $q$ sont jumeaux, on a donc plutôt $p=6k+5$ et $q=6(k+1)+1=6k+7$.

[rafik78ab]

Bonjour,

Merci monsieur pour votre réponse. Vous pensez quoi sur mon raisonnement ?

[MB]

A priori, vous venez d'arriver à la conclusion que deux nombres premiers jumeaux sont nécessairement de la forme $6k-1$ et $6k+1$ (ou de manière équivalente à $6k+5$ et $6k+7$. Il me semble que la principale avancée concernant les nombres premiers jumeaux serait de prouver qu'il en existe une infinité (ou pas).