Base et application linéaire

[Paul3784]

Bonjour à tous et bonne année au passage, j'envoi ce message pour savoir si mes réponses sont bonnes pour cet exo svp ?
Je n'ai pas le corrigé.

Soit $p$ l'application définie par :
$$
\left\{\begin{aligned}
\mathbb{R}^2 & \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
(x, y) & \mapsto(4 x-6 y, 2 x-3 y)
\end{aligned}\right.
$$
a) Montrer que $p$ est linéaire.
b) Déterminer une base de $\operatorname{Ker}(p)$ et de $\operatorname{Im}(p)$.

Voici mes réponses :
a) Pour montrer que l'application $p$ est linéaire, vérifions les deux propriétés suivantes :

1. L'additivité : $p(u + v) = p(u) + p(v)$ pour tous $u, v$ dans $\mathbb{R}^2$.
2. La homogénéité : $p(\alpha u) = \alpha p(u)$ pour tout $u$ dans $\mathbb{R}^2$ et tout scalaire $\alpha$.

Vérifions ces propriétés pour $p$ :

Soit $u = (x_1, y_1)$ et $v = (x_2, y_2)$ dans $\mathbb{R}^2$.
\[
\begin{align*}
p(u) &= (4x_1 - 6y_1, 2x_1 - 3y_1) \\
p(v) &= (4x_2 - 6y_2, 2x_2 - 3y_2) \\
p(u + v) &= p(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (4(x_1 + x_2) - 6(y_1 + y_2), 2(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2)) \\
p(u) + p(v) &= (4x_1 - 6y_1, 2x_1 - 3y_1) + (4x_2 - 6y_2, 2x_2 - 3y_2) = (4x_1 + 4x_2 - 6y_1 - 6y_2, 2x_1 + 2x_2 - 3y_1 - 3y_2)
\end{align*}
\]

On constate que $p(u + v) = p(u) + p(v)$, ce qui prouve l'additivité.

Pour la homogénéité, soit $\alpha$ un scalaire.
\[
\begin{align*}
p(\alpha u) &= p(\alpha x, \alpha y) = (4(\alpha x) - 6(\alpha y), 2(\alpha x) - 3(\alpha y)) \\
&= \alpha(4x - 6y, 2x - 3y) = \alpha p(u)
\end{align*}
\]

Cela confirme la homogénéité, donc $p$ est linéaire.

b) Pour déterminer une base du noyau $\operatorname{Ker}(p)$, il faut résoudre $p(x, y) = (0, 0)$. En d'autres termes, trouver tous les $x$ et $y$ tels que $p(x, y) = (4x - 6y, 2x - 3y) = (0, 0)$.

Pour déterminer une base de l'image $\operatorname{Im}(p)$, on peut calculer l'image de la base canonique de $\mathbb{R}^2$ par $p$. Par exemple, pour $e_1 = (1, 0)$ et $e_2 = (0, 1)$, on obtient $p(e_1) = (4, 2)$ et $p(e_2) = (-6, -3)$.

[guiguiche]

Bonjour

OK pour la question a)
Tu ne réponds pas à la question b) : tu n'as pas donné une base de chacun des deux sous-espaces.