Comportement asymptotique d'une courbe

[ilya]

Bonjour,

SVP une aide pour ces questions à propos des asymptotes obliques d'une courbe représentant une fonction à variable réelle.
Si le repère n'est ni orthogonal ni normé et soit $f$ une fonction.
1- Est-ce que la limite en l'infini de $f(x)-(ax+b)=0$ est toujours vérifiée ? ($y=ax+b$ est l'équation de l'asymptote oblique éventuelle)
2- La formule pour trouver les valeurs a et b de cette éventuelle équation est la même pour tout type de repère ?

Pour la 1ere question j'ai un doute puisque $f(x)-(ax-b)$ signifie la distance donc je crois que le repère doit être orthonormé pour parler d'une distance.
Merci d'avance pour vos éclaircissements.

[guiguiche]

Bonjour

1) Je ne connais pas le niveau de tes connaissances mais que penses-tu des exemples suivants : existe-t-il deux réels $a$ et $b$ tels que attendus dans les cas où $f(x)=x^2$ puis $f(x)=x+\ln(x)$ ?
2) Le repère n'a pas d'influence sur la définition. Pour obtenir $a$ : $$a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$$si cette limite est réelle, puis pour $b$ (lorsque $a$ existe : $$b=\lim_{x\to+\infty}f(x)-ax$$

[ilya]

Bonjour
Merci guiguiche, pour mes connaissances j'étais élève spé maths mais j'ai opté pour technologie après le bac.
Pour les fonctions x² et x+ln(x) c'est clair qu'il ne peut exister deux réels a et b tq lim en l'infini de f(x)-(ax+b) =0 , d'ailleurs les courbes de ces fonctions n'admettent pas des asymptotes oblique mais admettent plutôt une branche parabolique.
Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est que beaucoup de prof (+ d'autres sources) quand ils expliquent la signification géométrique de l'asymptote oblique ils donnent tous une condition à ce que le repère soit obligatoirement orthonormé pour qu'ils puissent parler j'imagine de la notion "distance", mais comme vous l'avez dit si le repère est quelconque cette asymptote oblique existe toujours mais est-ce qu'on peut parler de la distance dans ce cas là. Merci

[guiguiche]

Bonjour,

La notion de distance "visible" est liée effectivement au type de repère. La norme/distance habituelle est associée à un repère orthonormé.

[ilya]

Bonjour
Merci guiguiche donc si j'ai bien compris si la droite $y=ax+b$ représente une asymptote oblique pour une fonction f et si le repère n'est ni orthogonal ni normé ; on a toujours lim en l'infini de $f(x)-(ax+b)=0$ sauf qu'on ne peut pas expliquer cette limite comme distance en l'infini, c'est bien ça?
Merci

[guiguiche]

On peut toujours parler de "distance" puisque f(x) et ax+b (pour un même x bien sûr) sont des valeurs en ordonnées donc sont comparables au sens de l'unité de longueur choisie pour graduer l'axe des abscisses. Mais de manière générale, il vaut mieux s'abstenir de parler de normes/distances dans des bases/repères non orthonormés.

[ilya]

D'accord merci infiniment guiguiche pour vos explications.
Bonne soirée.