Loi binomiale

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Paul3784
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Loi binomiale

Message non lu par Paul3784 »

Bonjour,

J’envoie un message pour savoir si quelqu'un peut corriger cet exercice.
Je prépare un oral en fait.
SUJET 9 :
Thème : probabilités
L'exercice
Dans une fête foraine, un jeu de hasard est proposé aux visiteurs.
Pour chaque partie, la participation est de 5 euros.
Une partie consiste à lancer un dé à six faces, numérotées de 1 à 6 . Pour un résultat supérieur ou égal à 5 , le joueur reçoit 15 euros, sinon il ne reçoit rien.
1. L'organisateur espère qu'il y aura au moins 1000 parties de jouées. Peut-on penser qu'il gagnera de l'argent?
2. À la fin de la journée, l'organisateur fait ses comptes : il constate que 2000 parties ont été jouées et il a amassé 2650 euros de gain.
a) Combien de parties ont-elles été gagnées par les joueurs ?
b) Peut-on considérer que le dé est équilibré ?

Les réponses de deux élèves :

Élève 1

Je suppose qu'il y a exactement 1000 parties jouées, et je nomme $X$ le nombre de parties gagnées par les joueurs.
$X$ suit la loi binomiale $B\left(1000, \frac{1}{3}\right)$. D'après la calculatrice, $P(X \leqslant 500) \approx 1$
On est à peu près sûr que plus de la moitié des parties seront perdues par les joueurs. L'organisateur devrait donc gagner de l'argent.

Élève 2

Avec un tableur, j’ai réalisé une simulation de 1000 parties. J'ai obtenu 345 parties gagnées.
$$\frac{345 \times 10-655 \times 5}{1000}=0,175 $$

En moyenne, je trouve un gain de 0,17 euro par partie pour le joueur.
L'organisateur ne va donc pas gagner d'argent.

Élève 3

Je suppose qu'il y a exactement 1000 parties jouées. La probabilité de gagner est de $\frac{1}{3}$.
On a donc environ $\frac{1}{3} \times 1000$ parties de gagnées.
L'organisateur devrait gagner : $1000 \times 5-\frac{1}{3} \times 1000 \times 15=0$.

Le travail à exposer devant le jury.
1- Analysez la réponse des trois élèves en mettant en évidence leurs compétences dans le domaine des probabilités.
2- Proposez une correction de la deuxième question telle que vous l'exposeriez devant une classe de première scientifique.
3- Présentez deux ou trois exercices sur le thème probabilités, dont l'un au moins s'appuiera sur une simulation.
Pour l'instant voici ce que je pense des réponses de chaque élève:
E1(élève 1) X suit la loi de paramètre B(1000,1/3) je suis d'accord.
Ensuite "d'après la calculette", je ne vois pas l'intérêt de cette remarque qui plus est est fausse.
Si la moitié des gens gagne, l'organisateur perd (il perd des que plus d'un tiers des gens gagnent).

E2: Le tableur semble être une bonne idée, il aurait peut être dû faire plusieurs simulation.
E3 c'est presque bon.
Il calcule l'espérance on dirait.
Ce que j'avais obtenu en faisant (-5)*(2/3)+15*(1/3) mais il doit manquer quelque chose.
guiguiche
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Re: Loi binomiale

Message non lu par guiguiche »

Bonjour

Élève 1 : le calcul de probabilité n'a aucun rapport avec la question posée (l'élève pense qu'il y a équiprobabilité victoire/défaite alors sa loi binomiale était un bon départ pour répondre), la modélisation de l'expérience était pourtant pertinente avec la loi binomiale.
Élève 2 : généralisation abusive d'un exemple (très bien réalisé au demeurant) puisque la réponse laisse entendre que l'organisateur n'est jamais gagnant, c'est problématique dans un contexte d'expérience aléatoire.
Élève 3 : il n'interprète pas le résultat de son calcul pourtant pertinent, dommage, il aurait dû parler de loi faible des grands nombres voire d'intervalle de fluctuation pour étayer et conclure.

Pour ton calcul, attention, le gain de chaque joueur est 0-5 (il a perdu) ou 15-5 (il a gagné) donc 0 en moyenne.
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Paul3784
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Re: Loi binomiale

Message non lu par Paul3784 »

Merci beaucoup pour ton aide.
Paul3784
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Re: Loi binomiale

Message non lu par Paul3784 »

Quelle réponse aurais-tu éventuellement proposée pour la question 2 ?
J’essaie de corriger l'exercice et d'anticiper les questions qu'on me posera à l'oral.
guiguiche
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Re: Loi binomiale

Message non lu par guiguiche »

La chose importante dans cet énoncé d'exercice de probabilité : il manque une information essentielle qui fait que toutes les réponses sont fausses, c'est qu'implicitement tous les élèves ont utilisé le fait que le dé n'est pas truqué (d'où la dernière question de l'exercice).
Pour la question 2a, une petite mise en équation.
Pour la question 2b, j'attribuerais la probabilité 1-p lorsque le joueur gagne et p lorsque l'organisateur gagne. Je calculerai l'espérance du gain de l'organisateur en fonction de p puis son espérance de gain lors de la répétition des 2000 et je chercherais une plage de valeurs de p qui donne cette donnerait cette dernière espérance aux alentours du gain réel obtenu. Éventuellement une représentation Géogébra avec un curseur p.
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