Primitive de la puissance d'une fonction

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
toitoinebzh
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 13
Inscription : vendredi 13 juillet 2012, 11:47

Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par toitoinebzh »

Bonjour,

Je rencontre une difficulté pour intégrer une fonction avec des puissances.
Je le fais de deux méthodes différentes et je ne comprends pas pourquoi je n'aboutis pas au même résultats dans les 2 cas.

Je donne ici un exemple pour illustrer la situation.

J'ai une fonction $g(x)=(f(x)^a)^b=f(x)^{ab}$

Je pars du principe que la primitive d'une fonction de la forme $u' u^n$ est $\dfrac{ u^{n+1} }{ (n+1) }$.

Méthode 1

je pose $u=f(x)^a$ soit $u'=a f'(x) f(x)^{a-1}$ avec $n=b$ et donc la primitive est $$ \frac1{b+1}*\frac1{a f'(x) f(x)^{a-1}} \times (f(x)^a)^{b+1}=\frac1{a(b+1)}\times \frac{f(x)^{ab+1}}{f'(x)}$$

Méthode 2

Je pose $u=f(x)$ soit $u'=f'(x)$ avec $n=ab$ et donc la primitive est $$\frac1{ab+1} \times \frac{f(x)^{ab+1}}{f'(x)}$$

Au final, je n'ai pas la même solution et je ne comprends pas pourquoi, je suis preneur d'explications, merci.
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8200
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par guiguiche »

Bonjour,

Dérive chacun de tes deux résultats et constate que tu n'obtiens pas du tout $f^{ab}(x)$, ni dans un cas ni dans l'autre. De manière générale, déterminer une primitive de $u^a$ est souvent très compliqué, on commence par tenter sa chance avec une intégration par parties.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
projetmbc
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2276
Inscription : samedi 29 décembre 2007, 00:58

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par projetmbc »

Je rajouterais que beaucoup de fonctions n'ont pas de primitives "simples" : voir le théorème de Liouville pour les corps différentiels qui permet de démontrer que exp(x^2) n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions classiques vues au lycée.

Pour le cas proposé, il nous faut la fonction à intégrer.
toitoinebzh
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 13
Inscription : vendredi 13 juillet 2012, 11:47

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par toitoinebzh »

Merci pour ces réponses très pertinentes, je vous donne la forme de l'équation.

$$(( f_p \times x+f_0 )^a - g_0^a)^b$$

quand $g_0=0$, j'arrive donc à m'en sortir avec la méthode 2 sinon je bloque.
Dernière modification par guiguiche le vendredi 05 avril 2024, 15:28, modifié 1 fois.
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8200
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par guiguiche »

Mais $f_p$, $f_0$ et $g_0$ sont-elles des constantes ou des fonctions de la variable $x$ ? $a$ et $b$ sont entiers ou réels ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
toitoinebzh
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 13
Inscription : vendredi 13 juillet 2012, 11:47

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par toitoinebzh »

guiguiche a écrit : vendredi 05 avril 2024, 13:19 Mais $f_p$, $f_0$ et $g_0$ sont-elles des constantes ou des fonctions de la variable $x$ ? $a$ et $b$ sont entiers ou réels ?
ah oui pardon, je n'ai pas précisé.
Ceux sont trois constantes réelles et $x$ est la variable. $a$ et $b$ sont réels.
projetmbc
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2276
Inscription : samedi 29 décembre 2007, 00:58

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par projetmbc »

C'est à quel niveau. Prépa ? Licence ? Maitrise ?

Pour le cas bloquant, cela semble impossible sans fonction compliquée : il y a sûrement des fonctions hypergéométriques à mettre en jeu.
toitoinebzh
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 13
Inscription : vendredi 13 juillet 2012, 11:47

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par toitoinebzh »

Ce n'est pas un problème dans un cadre scolaire.

Je cherche à résoudre un problème de physique et j'aimerai éviter de résoudre cette équation par une intégration numérique.
Un intégration analytique m'aiderait à mieux comprendre les phénomènes en jeu.
projetmbc
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2276
Inscription : samedi 29 décembre 2007, 00:58

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par projetmbc »

Le concept de séries entières vous parle-t-il ? Si oui, c'est dans cette direction qu'il faut explorer, il me semble.
toitoinebzh
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 13
Inscription : vendredi 13 juillet 2012, 11:47

Re: Primitive de la puissance d'une fonction

Message non lu par toitoinebzh »

Non, je ne connais pas les séries entières, en regardant sur le net, cela me fait penser à des développements limités.