Primitive de la puissance d'une fonction

[toitoinebzh]

Bonjour,

Je rencontre une difficulté pour intégrer une fonction avec des puissances.
Je le fais de deux méthodes différentes et je ne comprends pas pourquoi je n'aboutis pas au même résultats dans les 2 cas.

Je donne ici un exemple pour illustrer la situation.

J'ai une fonction $g(x)=(f(x)^a)^b=f(x)^{ab}$

Je pars du principe que la primitive d'une fonction de la forme $u' u^n$ est $\dfrac{ u^{n+1} }{ (n+1) }$.

Méthode 1

je pose $u=f(x)^a$ soit $u'=a f'(x) f(x)^{a-1}$ avec $n=b$ et donc la primitive est $$ \frac1{b+1}*\frac1{a f'(x) f(x)^{a-1}} \times (f(x)^a)^{b+1}=\frac1{a(b+1)}\times \frac{f(x)^{ab+1}}{f'(x)}$$

Méthode 2

Je pose $u=f(x)$ soit $u'=f'(x)$ avec $n=ab$ et donc la primitive est $$\frac1{ab+1} \times \frac{f(x)^{ab+1}}{f'(x)}$$

Au final, je n'ai pas la même solution et je ne comprends pas pourquoi, je suis preneur d'explications, merci.

[guiguiche]

Bonjour,

Dérive chacun de tes deux résultats et constate que tu n'obtiens pas du tout $f^{ab}(x)$, ni dans un cas ni dans l'autre. De manière générale, déterminer une primitive de $u^a$ est souvent très compliqué, on commence par tenter sa chance avec une intégration par parties.

[projetmbc]

Je rajouterais que beaucoup de fonctions n'ont pas de primitives "simples" : voir le théorème de Liouville pour les corps différentiels qui permet de démontrer que exp(x^2) n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions classiques vues au lycée.

Pour le cas proposé, il nous faut la fonction à intégrer.

[toitoinebzh]

Merci pour ces réponses très pertinentes, je vous donne la forme de l'équation.

$$(( f_p \times x+f_0 )^a - g_0^a)^b$$

quand $g_0=0$, j'arrive donc à m'en sortir avec la méthode 2 sinon je bloque.

[guiguiche]

Mais $f_p$, $f_0$ et $g_0$ sont-elles des constantes ou des fonctions de la variable $x$ ? $a$ et $b$ sont entiers ou réels ?

[toitoinebzh]

Mais $f_p$, $f_0$ et $g_0$ sont-elles des constantes ou des fonctions de la variable $x$ ? $a$ et $b$ sont entiers ou réels ?

ah oui pardon, je n'ai pas précisé.
Ceux sont trois constantes réelles et $x$ est la variable. $a$ et $b$ sont réels.

[projetmbc]

C'est à quel niveau. Prépa ? Licence ? Maitrise ?

Pour le cas bloquant, cela semble impossible sans fonction compliquée : il y a sûrement des fonctions hypergéométriques à mettre en jeu.

[toitoinebzh]

Ce n'est pas un problème dans un cadre scolaire.

Je cherche à résoudre un problème de physique et j'aimerai éviter de résoudre cette équation par une intégration numérique.
Un intégration analytique m'aiderait à mieux comprendre les phénomènes en jeu.

[projetmbc]

Le concept de séries entières vous parle-t-il ? Si oui, c'est dans cette direction qu'il faut explorer, il me semble.

[toitoinebzh]

Non, je ne connais pas les séries entières, en regardant sur le net, cela me fait penser à des développements limités.