Une équation trigonométrique

[evariste_G]

Bonjour.
Je m'occupe d'un élève suisse qui a passé un examen il y a peu de temps, et nous avons fait un exercice où il y avait une question qui me pose problème.
On veut résoudre l'équation :

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3\sin\left(\frac{\pi}{360}x\right)+2=0

Au préalable, l'énoncé stipule que x est exprimé en degré, et est compris entre -180° et 0. Nous avons la courbe représentative qui montre que la solution cherchée est aux environs de -80°.
Voilà ce que j'ai fait:

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\begin{align}3\sin\left(\frac{\pi}{360}x\right)+2=0 & \iff \sin\left(\frac{\pi}{360}x\right)=-\frac{2}{3}\\ & \iff \frac{\pi}{360}x \approx -41,8^\circ + 360k\\ & \iff x \approx -4790^\circ +  41253k\end{align}

Ceci est faux, mais je ne vois pas où... Car je n'arrive pas à retrouver le -80° attendu.

Avez-vous de meilleurs yeux que moi (et un cerveau qui fonctionne mieux) ?

[guiguiche]

Tu as deux solutions dans [0,360].

[projetmbc]

Il faut travailler en radian. Il me semble...

[evariste_G]

Alors, effectivement, je viens de me rendre compte que j'avais oublié que $\sin(x) = \sin(a) \iff x=a\text{ ou }x=\pi-a$ modulo $2\pi$. Mais même avec ça, je ne trouve pas ce qu'il faut (en travaillant en degrés).
En effet, l'autre solution est:

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\begin{align}
3\sin\left(\frac{\pi}{360}x\right)+2=0 
& \iff \sin\left(\frac{\pi}{360}x\right)=-\frac{2}{3}\\ 
& \iff \frac{\pi}{360}x \approx -41,8^\circ + 360k\text{ ou } \frac{\pi}{360}x \approx 221,8^\circ+360k\\ 
& \iff x \approx -4790^\circ +  41253k \text{ ou } x \approx 25416,4 + 41253k\end{align}

J'aurais aimé travaillé en radians, mais a priori, ils travaillent en degrés... Et c'est vrai que c'est assez déroutant... Cela dit, on devrait pouvoir travailler en degrés, mais là, je ne vois pas l'erreur.

[projetmbc]

Ce que je voulais dire, c'est de travailler en radian, et tout à la fin convertir en degré.

$x = \dfrac{360}{\pi} \left(2 \pi n + \sin^{-1} \left(-\dfrac23 \right)\right)$

ou

$x = \dfrac{360}{\pi} \left(2 \pi n + \pi - \sin^{-1} \left(-\dfrac23 \right)\right)$

[evariste_G]

Ah... En effet, cela fonctionne, mais j'ai un peu de mal à comprendre pourquoi.
Depuis le début de l'énoncé, on dit que les angles sont en degrés (voir énoncé ci-joint) alors ça me perturbe.

[projetmbc]

C'est que tu as mélangé la version radian et la version degré de la fonction sinus. J'ai mal en écrivant ceci.

Avec la fonction sinus en degré, pas de nombre $\pi$ dans les formules.

[evariste_G]

C'est que tu as mélangé la version radian et la version degré de la fonction sinus. J'ai mal en écrivant ceci.

Avec la fonction sinus en degré, pas de nombre $\pi$ dans les formules.

Je suis désolé de t'avoir provoquer ce mal Il est vrai qu'en ce moment, je suis plus concentré sur autre chose et j'ai du mal à raisonner sur des notions que je n'ai jamais manipulées, même si elles sont simples... Un coup de mou...

J'aurais dû penser aux équations aux dimensions pour me mettre sur la piste... L'arcsin ne pouvait pas être en degrés en effet, c'est évident (après une bonne nuit de sommeil ).

Merci encore.