Salut tout le monde.
« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. »
Je me demande si ce texte est une interprétation graphique ou géométrique de la continuité d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ où une définition graphique de la continuité de la fonction $f$ sur $I$.
La continuité d'une fonction
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Re: La continuité d'une fonction
Je pense que ça a longtemps été la définition avant que le formalisme ne la change en la version actuelle.
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Re: La continuité d'une fonction
Sans le langage des limites, quelle serait la définition de la continuité ? (et sans paraphraser la définition actuelle)
Je pense que c'était une définition "empirique" jusqu'à ce qu'on fasse mieux (j'ai dû lire un truc sur ça un jour mais je ne me souviens plus où ni quoi précisément donc ma réponse est à prendre avec des pincettes).
Je pense que c'était une définition "empirique" jusqu'à ce qu'on fasse mieux (j'ai dû lire un truc sur ça un jour mais je ne me souviens plus où ni quoi précisément donc ma réponse est à prendre avec des pincettes).
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Re: La continuité d'une fonction
Je pense aussi que ce que tu dis, c'est-à-dire dessiner la fonction sans lever le crayon, est une interprétation graphique intuitive de la continuité. Cependant, il faut se rappeler que ce n’est qu'une approximation et une interprétation non formelle. En mathématiques, la définition de la continuité est un peu plus technique. On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle I si, en chaque point de cet intervalle, la limite de la fonction en ce point existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.
En gros : ton approche graphique est utile pour une compréhension intuitive, mais elle ne montre pas toujours toute la subtilité mathématique derrière. Pour les fonctions « belles » (lisses, sans sauts ou trous), dessiner sans lever le crayon représente bien la continuité. Mais il peut y avoir des fonctions qui semblent « étranges » et qui pourtant sont continues d'après la définition formelle.
Par exemple, la fonction f(x)=sin(1∕x)/x près de zéro a un comportement très complexe, mais elle est continue en tout point sauf en zéro.
Aussi, il faut mentionner la continuité unilatérale. Lorsqu'on regarde un point au bord d’un intervalle, comme à l'extrémité gauche ou droite, il est important de vérifier la continuité d'un seul côté. C'est une partie importante de la définition formelle, et l’intuition graphique peut parfois l'ignorer.
J'espère que ça clarifie un peu le sujet ! Dessiner des fonctions, c'est super, mais pour avoir une vision complète, il faut aussi s’appuyer sur la définition précise...
En gros : ton approche graphique est utile pour une compréhension intuitive, mais elle ne montre pas toujours toute la subtilité mathématique derrière. Pour les fonctions « belles » (lisses, sans sauts ou trous), dessiner sans lever le crayon représente bien la continuité. Mais il peut y avoir des fonctions qui semblent « étranges » et qui pourtant sont continues d'après la définition formelle.
Par exemple, la fonction f(x)=sin(1∕x)/x près de zéro a un comportement très complexe, mais elle est continue en tout point sauf en zéro.
Aussi, il faut mentionner la continuité unilatérale. Lorsqu'on regarde un point au bord d’un intervalle, comme à l'extrémité gauche ou droite, il est important de vérifier la continuité d'un seul côté. C'est une partie importante de la définition formelle, et l’intuition graphique peut parfois l'ignorer.
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