[2nd] DM sur l'irrationnalité de quelques nombres

[Guitrol]

Bonjour à tous je suis nouveau, en fait j'aurais bien voulu que vous m'apportiez confirmation sur la question suivante:

1) Si x et y sont des nombres rationnels, alors x-y est aussi rationnel.
Démontrez alors par l'absurde, que si y est un nombre rationnel alors, $\sqrt{2}+y$ est un nombre irrationnel.
2) Si x et y sont irrationnels, alors x+y est nécéssairement irrationnel ?
3) Si x et y sont irrationnels, alors xy est nécéssairement irrationnel ?

Voila c'est un peu long mais c'est pour comparer a ce que j'ai fait.
Merci davance :)

[P.Fradin]

Bonjour,

Si c'est pour comparer, il serait plus profitable que tu donnes tes réponses et qu'on te dise ce qui va et ce qui ne va pas...

[opr_oqr]

Bonsoir,

On sait que e et $\pi$ sont irrationnels mais on ne sait rien de leur somme et de leur produit.

[MB]

2) Si x et y sont irrationnels, alors x+y est nécéssairement irrationnel ?

Clairement faux. Prendre $y=-x$ par exemple. Idem pour la question suivante.

[maskou]

de même la question 1) est évidente: on suppose y rationnel donc si $\sqrt{2}+y$ est rationnel, $\sqrt{2}+y-y$ l'est aussi... par structure de corps des rationnels. Et c'est absurde.

Au passage, cela me fait penser à une extension du corps $\Q$, à savoir $\Q(\sqrt{2})$. Comme quoi on est irrationnel mais on ne s'éloigne pas trop de $\Q$.