[MPSI] application/ensembles

[2hell]

voila une nouvelle fois en galère, j'ai un exercice sur lequel je bloque : soient f une application d'un ensemble E vers un ensemble F et g une application de F vers E
on suppose que l'application $f \circ g \circ f$ est bijective.

1/ Démontrer que f est bijective
2/ En déduire que g est bijective aussi

merci d'avance

P.S promis je me met au latex pendant les vacances (actuellement je me bat avec mapple) i apologize sory...

[MB]

On peut commencer par montrer que $f$ est surjective. On considère alors $y \in F$. Comme $f \circ g \circ f$ est bijective (de $E$ dans $F$), il existe $x \in E$ tel que $f \circ g \circ f (x) = y$. On a donc bien : $f(g \circ f(x)) = y$ et $f$ est bien surjective.

On montre ensuite que $f$ est injective. On considère donc $x$ et $x'$ dans $E$ tels que $f(x)=f(x')$. On a donc $f \circ g \circ f(x)=f \circ g \circ f(x')$. La fonction $f \circ g \circ f$ étant bijective, on a $x=x'$ et $f$ est bien injective.

La fonction $f$ est donc bijective. Je suppose que l'on peut faire le même type de preuve pour $g$ et j'espère ne pas avoir fait d'erreur dans la précipitation.

[P.Fradin]

On peut commencer par montrer que $f$ est surjective. On considère alors $y \in F$. Comme $f \circ g \circ f$ est bijective (de $E$ dans $F$), il existe $x \in E$ tel que $f \circ g \circ f (x) = y$. On a donc bien : $f(g \circ f(x)) = y$ et $f$ est bien surjective.

On montre ensuite que $f$ est injective. On considère donc $x$ et $x'$ dans $E$ tels que $f(x)=f(x')$. On a donc $f \circ g \circ f(x)=f \circ g \circ f(x')$. La fonction $f \circ g \circ f$ étant bijective, on a $x=x'$ et $f$ est bien injective.

La fonction $f$ est donc bijective. Je suppose que l'on peut faire le même type de preuve pour $g$ et j'espère ne pas avoir fait d'erreur dans la précipitation.

Pour $g$, il suffit d'écrire ensuite ($f$ étant bijective) que $g=f^{-1} \circ [f\circ g\circ f]\circ f^{-1}$, composée de bijections...