[Licence] Equation différentielle

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Kazik

[Licence] Equation différentielle

Message non lu par Kazik »

Bonsoir,

j'ai un probléme pour résoudre cette équation différentielle : $y"-3y'+2y=x^3$

pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance.
Tryphon
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Messages : 1839
Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
Localisation : Un peu plus à l'Ouest

Message non lu par Tryphon »

Fais-voir ta solution de l'équation homogène...

Et il y a très certainement un polynôme de degré 3 qui est solution. Fais-le voir aussi...
Kazik

Message non lu par Kazik »

Je n'arrive pas a trouver car je n'ai aucune methode en faite je suis etudiant etranger et des notions abordées ici en France le sont pas dans mon pays d'origine en tout cas pas a mon niveau.
Pouvez m'expliquez ce que vous nommez équation homogène ?
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Bonjour,

Si vraiment vous ne connaissez pas la méthode usuelle:

1) Commencer par chercher une solution de $y''-3y'+2y=0$ de la forme $y=e^{kx}$
où $k$ est une constante.

2) Une fois que vous aurez trouver une valeur de $k$,
poser $y(x)=z(x)e^{kx}$ et reporter dans l'équation $y''-3y'+2y=x^3$ pour trouver toutes les solutions pour $z$....
Kazik

Message non lu par Kazik »

Bonsoir,

J'essaye de m'adapter a votre methode ce qui me méne a :
$y=e^{kx}$
$y'=ke^{kx}$
$y''=k^2e^{kx}$

Je reporte dans mon equation de départ :
$k^2e^{kx}-3ke^{kx}+2e^{kx}=0$

Je factorise :
$e^{kx}(k^2-3k+2)=0$

Et la je ne vois comment procéder d'autant que je ne comprend pas le choix que vous faites pour $y$

pouvez vous m'aidez ?
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Kazik a écrit :Bonsoir,

J'essaye de m'adapter a votre methode ce qui me méne a :
$y=e^{kx}$
$y'=ke^{kx}$
$y''=k^2e^{kx}$

Je reporte dans mon equation de départ :
$k^2e^{kx}-3ke^{kx}+2e^{kx}=0$

Je factorise :
$e^{kx}(k^2-3k+2)=0$
L'exponentielle ne s'annulant pas, il reste $k^2-3k+2=0$ d'où $k=1$ ou $k=2$, donc les fonctions $y_1: x\mapsto e^x$ et $y_2: x\mapsto e^{2x}$ sont solutions de l'équation homogène qui est $y''-3y'+2y=0$. La théorie montre alors que toutes les solutions sont de la forme $ay_1+by_2$ avec $a$ et $b$ réels quelconques.

Poursuivons en prenant par exemple $k=1$, cherchons les solutions de $y''-3y'+2y=x^3$ en posant $y(x)=z(x)e^x$. En reportant dans l'équation, on voit que $z$ doit vérifier une autre équation différentielle (que l'on sait résoudre). Laquelle?
Kazik

Message non lu par Kazik »

Suis-je bête !

$e^{kx}(k^2-3k+2)=0$

Or :
$e^{kx}\neq0$

Donc :
$k^2-3k+2=0$

J'imagine que c'est en résolvant le polynôme de degré 2 que vous trouvez $k=1$ ou $k=2$

En remplacant on trouve les fonctions que vous donnez mais je ne comprend toujours pas pourquoi vous aviez d'emblée choisi $y=e^{kx}$ !!

Ensuite je ne saisi pas ceci :
La théorie montre alors que toutes les solutions sont de la forme $ay_1+by_2$ avec $a$ et $b$ réels quelconques.
pouvez m'aidez ?
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Kazik a écrit : En remplacant on trouve les fonctions que vous donnez mais je ne comprend toujours pas pourquoi vous aviez d'emblée choisi $y=e^{kx}$ !!

Ensuite je ne saisi pas ceci :
La théorie montre alors que toutes les solutions sont de la forme $ay_1+by_2$ avec $a$ et $b$ réels quelconques.
Cela veut dire qu'il y a un théorème qui dit que les solutions sont faites comme ça!

Pourquoi choisir $y=e^{kx}$? Parce que l'expérience montre que ça marche, il y a des solutions de cette forme. Cela ne s'invente pas, c'est vraiment une question d'exprérience.

Lorsqu'on connaît le théorème en question, il suffit pour terminr la résolution de trouver une solution de $y''-3y'+2y=x^3$ pour en déduire toutes les autres. Et dans ce cas précis il y a une solution polynomiale de degré 3 (c'est encore l'expérience qui le dit).

La méthode que je vous ai donnée dans mon précédent message (poser $y(x)=z(x)e^x$) est beaucoup plus générale (mais plus calculatoire) et ne suppose pas la connaissance de ce fameux théorème.

Si vous voulez en savoir plus sur ces équations, j'ai mis un document à télécharger (résumé de cours)
http://perso.wanadoo.fr/Fradin.Patrick/ ... chap03.pdf

Pour MB: apparemment le fichier joint n'apparait pas alors j'ai mis un lien.
Dernière modification par P.Fradin le mercredi 19 octobre 2005, 10:55, modifié 1 fois.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Bonjour,

merci pour le lien donné je devrais m'en sortir.

j'ai légérement parcouru les documents que je trouve bien réalisé.