Bonjour a tous, voila mon premier post.
J'ai tenté en vain de comprendre comment utiliser le mode Latex mais j'avoue ne pas avoir trop persévéré (surtout par manque de temps). Je vais essayer de m'y consacrer pendant mon temps libre (peu important en ce début d'année). Voila mes deux problèmes :
Résoudre
(1) $\arcsin(x)+\arcsin(\sqrt{1+x^2})=\frac{\pi}{2}$.
(2) $2\arcsin(x)= \arcsin(2x(\sqrt{1-x^2}))$.
Je ne sais pas si ca a marché en latex enfin voila : $\arcsin(x) + \arcsin(\sqrt{1+x^2})=\frac{\pi}{2}$ et $\arcsin(x)= \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$.
On pose $f(x)=x^3( \sqrt{x^2 - 1})$.
1/ Démontrer que f établit une bijection de $]1,+\infty[$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera.
2/ Étudier la dérivabilité de $f^{-1}$ sur $J$ et en $0$ particulièrement.
Merci d'avance.
[Edit: MB] Utilisation du mode Latex. C'était un bon début !
[MPSI] Fonction circulaires et bijections
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P.Fradin
Problème 1:
1) Quel est l'ensemble de définition de $\arcsin$?
2) Vous pouvez poser $u=\sin(x)$ avec $u\in[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2]$.
Problème 2:
Aucune difficulté! Cependant votre énoncé comporte une incohérence. Sinon $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ (produit de fonctions croissantes positives). Puis on applique le théorème des bijections. $f$ n'est pas dérivable en $1$ mais il y a une tangente verticale en ce point, donc la réciproque est bien dérivable en 0 (avec une tangente horizontale).
1) Quel est l'ensemble de définition de $\arcsin$?
2) Vous pouvez poser $u=\sin(x)$ avec $u\in[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2]$.
Problème 2:
Aucune difficulté! Cependant votre énoncé comporte une incohérence. Sinon $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ (produit de fonctions croissantes positives). Puis on applique le théorème des bijections. $f$ n'est pas dérivable en $1$ mais il y a une tangente verticale en ce point, donc la réciproque est bien dérivable en 0 (avec une tangente horizontale).