[MPSI] Fonction circulaires et bijections

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.
[participation réservée aux membres inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
frederic.Mutis

[MPSI] Fonction circulaires et bijections

Message non lu par frederic.Mutis »

Bonjour a tous, voila mon premier post.

J'ai tenté en vain de comprendre comment utiliser le mode Latex mais j'avoue ne pas avoir trop persévéré (surtout par manque de temps). Je vais essayer de m'y consacrer pendant mon temps libre (peu important en ce début d'année). Voila mes deux problèmes :

Résoudre
(1) $\arcsin(x)+\arcsin(\sqrt{1+x^2})=\frac{\pi}{2}$.
(2) $2\arcsin(x)= \arcsin(2x(\sqrt{1-x^2}))$.

Je ne sais pas si ca a marché en latex enfin voila : $\arcsin(x) + \arcsin(\sqrt{1+x^2})=\frac{\pi}{2}$ et $\arcsin(x)= \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$.

On pose $f(x)=x^3( \sqrt{x^2 - 1})$.

1/ Démontrer que f établit une bijection de $]1,+\infty[$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera.
2/ Étudier la dérivabilité de $f^{-1}$ sur $J$ et en $0$ particulièrement.

Merci d'avance.

[Edit: MB] Utilisation du mode Latex. C'était un bon début !
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Problème 1:

1) Quel est l'ensemble de définition de $\arcsin$?
2) Vous pouvez poser $u=\sin(x)$ avec $u\in[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2]$.

Problème 2:

Aucune difficulté! Cependant votre énoncé comporte une incohérence. Sinon $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ (produit de fonctions croissantes positives). Puis on applique le théorème des bijections. $f$ n'est pas dérivable en $1$ mais il y a une tangente verticale en ce point, donc la réciproque est bien dérivable en 0 (avec une tangente horizontale).